Степени свободы

Если каждую вершину куба произвольно переместить, так чтобы получился перемещенный куб, то здесь имеется n2ⁿ произвольных параметров, или степеней свободы. Эти степени свободы определяют форму и ориентацию измененного куба. Мы накладываем ограничение на изменение так, чтобы каждое множество первоначально параллельных ребер перешло в пучок косопараллельных. Мы назовем такой измененный куб косым кубом. Определяя первоначальные ребра таким образом, мы ограничиваем их возможные ориентации. Теперь возникает вопрос: существуют ли такие величины k и j, что это ограничение тождественно исчезает? Для того чтобы пойти дальше, мы вспомним, что особое значение имеют четыре типа косопараллельных пучков. Предположим, что имеются n₁ пучков, обладающих 1-ой степенью свободы. Это α- и δ- пучки, которые для нашего анализа неразличимы. Поскольку ни потенциальности, ни гипархические свойства – посредством комбинации которых обеспечивается фундаментальная тождественность – непосредственно не наблюдаемы, следует ожидать такого отсутствия различия. Далее мы предполагаем, что имеются n₂ β-пучков, каждый из которых обладает n – 2 степенями свободы. И наконец, имеются k γ- пучков, если косой куб тотально связен; каждый из них обладает λ степенями свободы, где λ = j – 1, если k = j, или λ = j, если k > j. Случай, когда k < j анализируется легко.

Теперь, каждый пучок имеет 2^{n – 1} членов, и, следовательно, пучку противоположных ребер с m степенями свободы присваивается m2^{n – 1} степеней свободы в целом на косом кубе.

Таким образом, мы имеем:

n = k + j

n = n₁ + n₂ + k (1)

n 2ⁿ = 2^n-1 (n₁ + n₂ n – 2 + kλ) + ε 2^n-1

Из чего, как легко видеть, получается:

n = k + j

j = n₁ + n₂ (2)

2n = j + n₂ n – 3 + kλ + ε

где ε равно в третьем уравнении нулю, только когда косой куб является полностью произвольным искажением исходного куба, т.е. только когда тождество соответствует максимуму различия.

Мы найдем решение для тех уравнений, в которых ε равно нулю. Если ε > 0, то искажение куба ограничено; если ε < 0, то представление не допускает полного различия косопараллельности.