Фундаментальное решение уравнения теплопроводности; его физический смысл

Нестационарное урав­нение теплопроводности в неподвижной среде в декартовой системе координат имеет вид:

. (1)

Рассмотрим безграничное пространство, заполненное однородной не­по­движ­ной сре­дой с плотностью r, теплоемкостью c и коэффициентом тем­пе­ра­ту­ро­про­вод­ности a. Пусть в этом пространстве в точ­ке с координатами x', y', z' в момент времени t' сработал (включился и сразу же выключился) мгновенный источник тепла, выделивший количество те­п­ла, равное Q. Тогда температура в любой точке с координатами x, y, z в любой момент времени t > t' может быть определена по формуле

. (2)

Функция (2) ввиду ее чрезвычайной важности для приложений называется фун­да­мен­таль­ным ре­ше­нием уравнения теплопроводности. В том, что эта фун­к­ция является ре­ше­ни­ем уравнения теплопроводности (1), проще всего убе­дить­ся непосредственной проверкой. Про­диф­фе­рен­ци­руем фундаментальное ре­шение один раз по t и дважды по x, y, z:

,

, ,

.

Подставляя эти формулы в уравнение (1), убеждаемся, что при t > t' получается тождество.

На первый взгляд может показаться, что практическая польза от фун­да­мен­таль­ного ре­ше­ния невелика, т.к. мгновенных то­чечных источников в при­ро­де и в тех­нике не существует; лю­бой реальный ис­точ­ник имеет конечные раз­ме­ры и дей­ст­ву­ет в течение конечного про­ме­жут­ка вре­ме­ни. Однако всегда мож­но мысленно раз­бить источник теп­ла на отдельные эле­мен­ты, на­столь­ко малые, чтобы их можно бы­ло счи­тать точечными, и, используя прин­цип су­пер­по­зиции, сложить температуры, создаваемые эти­ми эле­ментами (другими словами, про­ин­те­гри­ровать фундаментальное ре­ше­ние по координатам x', y', z' в пре­де­лах ре­альных размеров ис­точника). Аналогично, отрезок времени, в течение ко­то­ро­го дейст­во­вал источник, можно раз­бить на множество бесконечно малых ин­тер­валов dt' и проинтегрировать фундаментальное ре­шение по t' от момента вклю­чения до момента выключения источника. При этом можно учесть, что раз­личные элементы источника могут иметь различную мощность, которая к то­му же может меняться со временем, т.е. решить множество практически важ­ных задач. Если ис­точ­ники тепла имеют сложную форму, и (или) их мощность ме­няется сложным образом, так что получить аналитическое решение не уда­ет­ся, можно применить методы численного ин­тег­ри­рования. Простейшие при­ме­ры применения этих идей приведены ниже. Кроме то­го, в некоторых случаях, ко­гда мощный источник тепла действовал непродолжительное вре­мя, на рас­сто­яниях, много больших, чем размеры источника, можно непосредственно ис­поль­зо­вать формулу (2). В качестве примера можно назвать подземный взрыв (обычный или ядерный небольшой мощности), про­из­ве­ден­ный на боль­шой глубине.

Рассмотрим некоторые свойства фундаментального решения. Если начало координат поместить в точку (x', y', z') а отсчет времени начать с момента t', то вид формулы (2) значительно упрощается:

, (3)

где r² = x² + y² + z² - квадрат расстояния от источника (от начала координат) до точки на­блю­де­ния. Если зафиксировать ряд моментов времени 0 < t₁ < t₂ < t₃ и по­строить графики за­ви­си­мос­ти T(r), то получатся кривые, вид которых изо­бражен на рисунке. Как видно из этого ри­сун­ка, температура максимальна в начале координат (в точке, где на­хо­дил­ся источник тепла), и с уве­личе­ни­ем r монотонно убывает. Чем бли­же мо­мент времени t к мо­мен­ту срабатывания источника (к на­ча­лу отсчета времени), тем выше и уже пик кривой T(r). С те­чением времени тепло по­степенно распространяется во все стороны, но если в любой фик­си­рованный мо­мент времени про­интегрировать rcT по всему пространству, то получится ве­личина, равная Q, как и должно быть по закону сохранения энергии.

Если теперь зафиксировать не­ко­торую точку на расстоянии r от источника и проследить за изменением температуры в этой точке со временем, то получится зависимость T(t), вид ко­то­рой изображен на рисунке. Максимум температуры достигается в не­ко­то­рый момент времени t₁, который можно опре­де­лить, при­рав­няв производную ¶T/¶t нулю:

.

Производная обратится в нуль, когда величина, стоящая в скобках, будет равна нулю, т.е. в момент времени t₁ = r²/(6a). В этот момент тем­пе­ратура в точке, находящейся на расстоянии r от мгновенного точечного источника достигает мак­симума.