Теплопроводность цилиндрической стенки

Рассмотрим теплопроводность цилиндрической однослойной стенки (рис. 3) с внутренним диаметром d₁=2r₁ и наружным диаметром d₂=2r₂ в условиях стационарного температурного поля . Внутренние источники теплоты отсутствуют (q_v=0).

Уравнение теплопроводности цилиндрической стенки (14) в рассматриваемых условиях имеет вид

= 0. (36)

Температуры на наружной и внутренней поверхности цилиндрической стенки неизменны и ось z совмещена с осью цилиндра

и . (36а)

В данном случае температура изменяется только в радиальном направлении

. (37)

Граничные условия

при _,

при _. (38)

Для решения уравнения (37) введем новую переменную , тогда уравнение (37) запишется в виде

. (39)

Интегрируя (39), получим

. (40)

Потенцируя выражение (40) и переходя к первоначальным переменным, получаем

. (41)

После интегрирования имеем

. (42)

Постоянные интегрирования С₁ и С₂ можно определить из граничных условий (38):

; . (43)

Решая уравнение (43) относительно С₁ и С₂, найдем:

; . (43а)

Подставляя полученные значения С₁ и С₂ в уравнение (42), получаем

. (44)

Выражение температурного поля (44) представляет собой уравнение логарифмической кривой. То, обстоятельство, что распределение температуры в цилиндрической стенке является криволинейным, можно объяснить следующим.

В случае плоской стенки плотность теплового потока q остается одинаковой для всех изотермических поверхностей.

В случае цилиндрической стенки плотность теплового потока через любую изотермическую поверхность будет величиной переменой, так как величина поверхности зависит от радиуса.

Для определения теплового потока через цилиндрическую поверхность воспользуемся законом Фурье

. (45)

Подставляя в уравнение Фурье значение градиента температуры (41) получим (учитывая, что )

, (46)

или

. (46а)

Тепловой поток может быть отнесен либо к единице внутренней или внешней поверхности, либо к единице длины. При этом расчетные соотношения для удельного теплового потока принимают вид

, (47)

(q₁ – тепловой поток через единицу внутренней поверхности);

, (48)

(q₂ – тепловой поток через единицу внешней поверхности);

, (49)

(q_l – тепловой поток через единицу длины поверхности).

Тепловой поток отнесенный к единице длины, имеет размерность Вm/м и называется линейным тепловым потоком.

Рассуждая аналогично, как при получении расчетного соотношения теплового потока для многослойной плоской стенки, можно получить выражение для определения линейного теплового потока в случае многослойной цилиндрической стенки

. (50)

где знаменатель называется полным термическим сопротивлением теплопроводности многослойной цилиндрической стенки.

Из уравнения (50) может быть определена температура на границе любых двух слоев

. (51)