Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как противостоять манипуляциям мужчин? Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






ПРОСТЕЙШИЕ СЛЕДСТВИЯ АКСИОМ





Можно рассмотреть следствия, прямо вытекающие из аксиом. Их мы сформулируем в виде теорем.

Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.

Доказательство. Пусть даны прямая а и не лежащая на ней точка D (рис. 4). Отметим на прямой а любые две точки: А и Б. Через точки А, В, D проведем плоскость и обозначим ее через а. По аксиоме С2 такую плоскость провести можно.

Докажем теперь, что плоскость а, проходящая через прямую а и точку D, единственна. Допустим, что существует другая, отличная от а, плоскость р, проходящая через прямую а и точку D. В этом случае по аксиоме С4 плоскости аир, будучи различными, пересекутся по прямой, и точки А, В, D должны будут лежать на этой прямой. Но по условию эти точки не лежат на одной прямой. Таким образом мы пришли к противоречию. Полученное противоречие и доказывает единственность плоскости. Теорема доказана.

Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну.

Доказательство. Пусть даны прямые ои 6, пересекающиеся в точке С (рис. 5). Обозначим любую точку на прямой а буквой А, на прямой b буквой В, отличные от С. По аксиоме С2 через точки А, В, С можно провести плоскость, и притом только одну. Теорема доказана.

Из аксиомы С2 и доказанных теорем следует, что плоскость можно задать: 1) тремя точками, не лежащими на одной прямой; 2) прямой и не лежащей на ней точкой; 3) двумя пересекающимися прямыми. Задание плоскости двумя параллельными прямыми рассмотрим в §4.

Вопросы и задания

1.Вспомните и повторите аксиомы планиметрии.

2. Даны две пересекающиеся прямые. Докажите, что эти прямые и пересекающая
их в различных точках третья прямая лежат в одной плоскости.

3. Докажите, что через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плос­
кость, и притом только одну.

4. Докажите, что через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и
притом только одну.

Задачи

1.Можно ли через точку пересечения двух данных прямых провести



третью прямую, не лежащую с ними в одной плоскости? Объясните ответ.

2. Точки М, N, К лежат в каждой из двух различных плоскостей.

Докажите, что эти точки лежат на одной прямой.

3. Всегда ли прямая, которая пересекает две стороны треугольника

(не проходящая через его вершины), лежит в плоскости треуголь­ника? Объясните ответ.

4. Всегда ли прямая, проходящая через вершину треугольника, лежит

в плоскости треугольника? Объясните ответ.

5. Четыре точки не лежат в одной плоскости. Могут ли какие-нибудь

три из них лежать на одной прямой? Объясните ответ.

в

6. Докажите, что через одну прямую можно провести две различные

плоскости.

7. Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Через каждые две

из них проведены прямые. Докажите, что эти прямые лежат в одной плоскости.

8. Даны прямая а и точка А. Аеа. Докажите, что все прямые,

пересекающие прямую и проходящие через точку А, лежат в одной плоскости.

9. Даны две плоскости, пересекающиеся по прямой а. Прямая Ъ лежит

в одной из них и пересекается с другой. Докажите, что прямые а и Ъ пересекаются.

10. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Пересекаются ли
прямые АС и BD?

11. Даны две не пересекающиеся плоскости. Докажите, что прямая,
пересекающая одну из этих плоскостей, пересекает и другую.

12. Докажите, что если прямые АВ и CD не лежат в одной плоскости,
то прямые АС и BD также не лежат в одной плоскости.

13. Четыре точки не лежат в одной плоскости. Сколько плоскостей
можно провести через три из них? Объясните ответ.








Date: 2015-04-23; view: 382; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2018 year. (0.006 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию