Примеры решения задач на закон сохранения энергии в термодинамических процессах

З а д а ч а 1. С какой скоростью летела свинцовая пуля, если при ударе о стенку она расплавилась наполовину? Температура пули до удара Т ₁ = 400 К, во внутреннюю энергию превращается 80 % её кинетической энергии. Удельная теплоемкость свинца с = 130 , удельная теплота плавления свинца λ = 2,4·10⁴ Дж/кг, температура плавления Т ₂ = 600 K.

А н а л и з у с л о в и я з а д а ч и: здесь часть кинетической энергии пули в момент удара превращается во внутреннюю энергию пули и часть во внутреннюю энергию стенки. По условию задачи во внутреннюю энергию пули превращается η ее кинетической энергии. Значит, по закону сохранения энергии η · W _K = Δ U. Мерой изменения внутренней энергии пули будет количество теплоты Q ₁, израсходованное на нагревание всей пули от температуры Т ₁ до Т ₂, и количество теплоты Q ₂, израсходованное на плавление половины пули. Поэтому Δ U = Q ₁ + Q ₂.

Д а н о:	Р е ш е н и е
Т 1 = 400 К η = 0,8 с = 130 λ = 2,4·104 Дж/кг Т 2 = 600 К   v -?	Количество теплоты, израсходованное на нагревание пули Q 1 = m 1 c (T 2 - T 1). Количество теплоты, израсходованное на плавление части пули Q 2 = m 2 λ = . Кинетическая энергия пули в момент удара W к= . Тогда имеем . Отсюда, после сокращения на m 1

О т в е т: v = 308 м/с.

З а д а ч а 2. Для изобарного нагревания газа, количество вещества которого 800 моль, на 500 К ему сообщили количество теплоты 9,4 МДж. Определить работу газа и приращение его внутренней энергии.

А н а л и з у с л о в и я з а д а ч и: задача может быть решена на основе первого начала термодинамики двумя способами: сначала следует найти работу газа, а затем – изменение внутренней энергии, или наоборот. Рассмотрим решение задачи обоими способами одновременно:

Д а н о:	Р е ш е н и е
ν = 800 моль Δ Т = 500К Q = 9,4 МДж p - const     А ’ =? Δ U =?	1-й способ	2-й способ
Q = Δ U + A ’
A ’ = p Δ V = ν R Δ T Δ U = Q - A ’	Δ A ’ = Q - Δ U
В ы ч и с л е н и я:
A ’ = 800 ∙ 8,31 ∙ 500 = = 33,24 ∙ 105 = = 3,324 (МДж); Δ U = 6,076 МДж.	Δ U = ∙ 800 ∙ 8,31 ∙ 500 = = 49,86 ∙ 105 = = 4,986 (МДж); А ’ = 4,414 МДж.

О т в е т: А ' = 3,324 МДж; Δ U = 6,076 МДж.

З а д а ч а 3. С идеальным газом, взятым в количестве 3 моля, проходит замкнутый процесс, состоящий из двух изохор и двух изобар. Отношение давлений на изобарах , отношение объемов на изохорах . Разность максимальной и минимальной температур в процессах Δ Т = 100 К. Найти работу, совершаемую газом за один цикл.

Д а н о:

А н а л и з у с л о в и я з ад а ч и:

Δ Т = 100 К ν = 3 моля   А '=?

По условию задачи газ совершает работу, значит, процесс идет по графику, изображенному на рис. 2, а, и работа газа вычисляется по формуле A ’ = (p 2 - p 1)(V 2 - V 1). Из уравнения Менделеева - Клапейрона следует, что температура газа будет максимальная (минимальная), если произведение давления на объем в данном состоянии максимальное (минимальное) pV = νRT. Значит, Т max = Т з в состоянии 3 с параметрами р 2, V 2, a Т min = Т 1 в состоянии 1 с параметрами p 1, V 1.

Р е ш е н и е

Записываем уравнения Менделеева - Клапейрона для состояний 1 и 3, объединяя их в систему

Вычитаем из второго уравнения первое:

p ₂ V ₂ - p ₁ V ₁ = ν R (T ₃ - T ₁).

Используем условие задачи:

α p ₁ β V ₁ - p ₁ V ₁ = ν R Δ Т;

p ₁ V ₁(α β - 1) = ν R Δ Т;

A ’ = (p ₂ - p ₁) (V ₂ - V ₁) = (α p ₁ - p ₁) (β V ₁ - V ₁) = p ₁ V ₁(α –1) (β -1) =

= (α –1) (β -1).

Подставляя значения в данное уравнение, получаем А ' ≈ 250 Дж.

О т в е т: А ' = 250 Дж.