Примеры решения задач на уравнение Клапейрона – Менделеева

З а д а ч а1. Резиновый мяч содержит 4 л воздуха, находящегося при температуре 20 єС при атмосферном давлении 780 мм рт. ст. Какой объем займет воздух, если мяч будет опущен в воду на глубину 10 м? Температура воды 4 єС.

А н а л и з у с л о в и я з а д а ч и: по условию задачи рассматривается воздух в двух состояниях: на поверхности воды и на глубине h. Обозначим параметры состояния в каждом случае.

Решение:

Запишем уравнения состояния для каждого случая, учитывая, что масса воздуха в шаре остается постоянной. Получим систему уравнений

Разделим второе уравнение на первое и выразим искомый объем

Д а н о:   V 0 = 4 л = 4 • 10-3 м3 T 0 = (20 + 273) K h рт = 780 мм рт. ст. h в = 10 м T 1 = (4 + 273) K   V 1 =?

В воде на глубине h давление будет складываться из атмосферного у поверхности воды и давления столба воды высотой h Получим формулу для объема Атмосферное давление дано по условию в мм рт. ст. Для перевода его в паскали записываем формулу . Окончательная формула Вычисления дают результат V 1 = 1,96л.

О т в е т: V ₁ = 1,96 л.

З а д а ч а 2. Идеальный газ находится в цилиндрическом сосуде под поршнем. Поместив на поршень груз массой m, его объем изотермически уменьшили в n раз. Какой массы груз следует добавить, чтобы объем газа изотермически уменьшили еще в k раз?

А н а л и з з а д а ч и: По условию задачи рассматриваются три состояния газа. Введем обозначения параметров:

1 2 3

V ₁/ n, T ₁ V ₁/ nk, T ₁

Рис. 8

Д а н о:	Р е ш е н и е
Т = const     m x =?	Запишем уравнения Бойля - Мариотта для перехода из 1-го состояния во 2-е и для перехода из 1-го состояния в 3-е. Получим систему: Давление газа увеличивается с давления p 1 в 1-м состоянии благодаря воздействию груза. На газ действует вес груза. Изменение давления, вызванное действием груза во 2-м состоянии, может быть вычислено по формуле

,

где S - площадь поршня.

Тогда давление со стороны груза в 3-м состоянии . Подставляя значения изменений давления в систему, сокращая обе части уравнений на V ₁, получаем:

Раскрываем скобки, переносим выражения, содержащие p ₁, в левую часть системы:

Делим 1-е уравнение на 2-е:

Преобразуем левую часть уравнения:

.

Получаем уравнение

.

Делим обе части уравнения на k, используем свойство пропорции, переносим выражения, содержащие неизвестные, в левую часть, а все остальные – в правую. Получаем

.

Окончательная формула: .

О т в е т: .

З а д а ч а 3. Два сосуда с объемами V ₁ = 40 л и V ₂ = 20 л содержат газ при одинаковой температуре, но разных давлениях. После соединения сосудов в них устанавливается давление р = 1 МПа. Каково начальное давление р ₁ в большем сосуде, если в меньшем оно было равно р ₂ = 600 кПа? Температура не изменяется.

А н а л и з у с л о в и я з а д а ч и. Процесс соединения сосудов с газом - изотермический. Обозначим параметры состояний. Рассматриваются три состояния. Используется один и тот же газ, молярная масса в обоих сосудах одинаковая, а массы – разные.

1-е состояние 2-е состояние 3-е состояние

параметры V ₁ p ₁ T V ₂ p ₂ T (V ₁+ V ₂) p T

состояния

m ₁, µ m ₂, µ (m ₁ + m ₂), µ

Д а н о:	Р е ш е н и е
V 1 = 40 л = 4•10-2 м3 V 2 = 20 л = 4•10-2 м3 р = 1 МПа	Записываем уравнение Менделеева - Клапейрона для каждого состояния. Получаем систему:
р 2 = 600 кПа T = const p 1 =?

Выразим из первых двух уравнений массы и подставим их значения в третье уравнение:

p (V ₁ + V ₂) = .

Преобразуя это выражение, получаем:

p (V ₁ + V ₂) = p ₁ V ₁ + p ₂ V ₂ ,

откуда

р ₁ = .

О т в е т: р ₁ = .