Основные законы и соотношения алгебры логики

При проектировании цифровых устройств часто требуется преобразовать структурные формулы. Для этой цели используют­ся соотношения, вытекающие из законов алгебры логики. С помощью таблиц 3.4-3.6 легко могут быть проверены свойст­ва логического сложения, умножения и инверсии:

(3.5).

Переместительный закон

Х Ú У=УÚХ, Х× У=У × Х (3.6)

Сочетательный закон

(XÚ Y) Ú Z=XÚ (YÚ Z), (X× Y)× Z=X× (Y× Z). (3.7)

Распределительный закон

Z(XÚ Y)=X× ZÚ Y× Z, (ZÚ X)(ZÚ Y)=ZÚ (X× Y). (3.8)

Закон двойственности (Правило де Моргана)

(3.9)

На основании правила де Моргана логическое сложение мо­жет быть заменено умножением и, наоборот, при соответствующем инвертировании переменных и всей логической функции. На прак­тике часто пользуются другой интерпретацией указанного прави­ла: функции логического сложения и умножения реализуются од­ним и тем же логическим элементом, который в зависимости от кодировки сигналов на его входе и выходе может выполнять или функцию И, или функцию ИЛИ.

Все законы алгебры логики легко проверяются подстановкой возможных комбинаций значений 0 и 1 в левую и правую части.

Для преобразования структурных формул применяется ряд тождеств, важнейшие из которых определяют правила поглоще­ния

X Ú X×Y = X, X (X Ú Y)= X (3.10)

и склеивания

X×Y Ú = X, (X Ú Y) (X Ú ) = X. (3.11)

Приведем еще несколько полезных соотношений:

XÚ = XÚY (3.12)

X Ú Y = (X Ú Y)_, (3.13)

X Ú Z = (X v Z). (3.14)