Как найти угол между прямыми в пространстве?

Рисунка приводить не буду, думаю, всем понятно, что это за угол.

Понятие угла в пространстве определено не только для пересекающихся прямых, но и для скрещивающихся прямых. Угол «альфа» между двумя прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. А формула едина и хорошо вам знакома:

, где – направляющие векторы двух пересекающихся либо скрещивающихся пространственных прямых.

В частности, если , то прямые перпендикулярны.

Приведённая формула может дать любой угол от 0 до 180 градусов включительно, и многие авторитетные авторы учебников по геометрии углом между пространственными прямыми называют каждый из 4-х углов. Однако на практике, как и в случае угла между «плоскими» прямыми, от вас, скорее всего, потребуют острый угол (что, в общем-то, логично). Поэтому если вы получили по формуле тупой угол, например, 120 градусов, то от греха подальше, внесите дополнение, что угол между прямыми равен: 180 – 120 = 60 градусов

В примерах особого смысла нет, сильно сомневаюсь, что кто-то неправильно найдёт направляющие векторы пространственных прямых по их уравнениям. А практические задачи на применение самой формулы можно посмотреть, например, в статье Скалярное произведение векторов.

Скоро-скоро грядут задачи на плоскость и прямую в пространстве, поэтому немного освежаем материал об уравнении плоскости. В контексте параграфа полезен следующий вопрос: определяют ли две пересекающиеся прямые плоскость в пространстве? Да, конечно, если даны две пересекающиеся прямые, то они однозначно определят плоскость, в которой лежат. Уравнение данной плоскости можно составить по двум направляющим векторам и какой-нибудь точке, принадлежащей любой из прямых.