Параллельные прямые в пространстве

Параллельные прямые пространства, как и пересекающиеся прямые тоже лежат в одной плоскости:

Что сразу можно сказать? Они не пересекаются, и у них один и тот же направляющий вектор.

В начале этой статьи я зарубил четырёхглавого дракона, ловите мой меч-кладенец, вас поджидает стандартный шестиглазый зверь:

Пример 17

Дана прямая . Требуется:

а) построить прямую , параллельную данной и проходящую через точку

б) будут ли параллельные прямые однозначно определять плоскость в пространстве? Если да, то составить уравнение данной плоскости;

в) найти расстояние между параллельными прямыми.

Постарайтесь самостоятельно, не заглядывая в образец решения, выполнить предложенные задания.

Вот, пожалуй, и все основные задачи с пространственными прямыми. После изучения уравнения плоскости и уравнений прямой в пространстве, можно приступить к рассмотрению задач на прямую и плоскость, они вряд ли покажутся вам сложнее.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 12: Решение:
1) Находим направляющие векторы и точки, принадлежащие данным прямым. Для нахождения точек удобно использовать нулевые значения параметров :

2) Найдём вектор:
3) Вычислим смешанное произведение векторов:

Таким образом, прямые могут пересекаться, быть параллельными или совпадать.
4) Исследуем направляющие векторы на коллинеарность:
, следовательно, направляющие векторы не коллинеарны, и прямые пересекаются.
Ответ:

Пример 16: Решение: 1) Выполним схематический чертёж:

2) Найдём вектор .
3) Запишем параметрические уравнения прямой по точке и направляющему вектору :

4) Точка , поэтому её координаты удовлетворяют параметрическим уравнениям данной прямой: .
5) Найдём вектор .
6) Так как – высота треугольника, то и:

7) Найдём точку:
Точка совпала с точкой , значит, высота совпадает со стороной , и треугольник является прямоугольным.
8) Найдём вектор .
9) Составим уравнения высоты (катета ) по точке и направляющему вектору :

10) Найдём длину высоты как длину вектора :

Ответ:

Пример 17: Решение:
а) Из уравнений прямой найдём её направляющий вектор: . Уравнения прямой составим по точке и направляющему вектору :

б) Да, две параллельные прямые однозначно определяют плоскость, в которой они лежат.
Точка принадлежит первой прямой.
Найдём вектор:
Уравнение искомой плоскости составим по точке и двум неколлинеарным векторам :

в) Расстояние между параллельными прямыми найдём как расстояние от точки до прямой: (формула из Примера №15).

Таким образом:

Ответ:
а)
б) да,

в)

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?