Распределение Больцмана. Барометрическая формула

Распределения Больцмана. Основное уравнение МКТ и максвелские распределения молекул по скорости были получены предположением, что молекулы равномерно распределены по объему и все направления движения молекул равномерно распределены по объему и все направления движения молекул равновероятны. Такие условия могут быть реализованы только в том случае, если на молекулы не действуют никакие внешние силовые поля. Однако молекулы любого газа в земных условиях находятся в потенциальном гравитационном поле Земли, что приводит к нарушению равномерного распределения молекул по объему. P = pgh — давление в жидкости; dP = - pgdh — т.к. с увеличением высоты давление уменьшается.

PV = mRT / μ => p = m / V = Pμ / RT; dP = - Pμ g dh / RT = P m0 g dh / kT; dP/ P = - m0 g dh / kT; Проинтегрируем это выражение:

(интеграл P0 - P) dP / P = - (m0 g / kT) (интеграл 0 - h) dh; ln (P / P0) = - (m0 gh / kT); P = R0 e (ст. m0 gh / kT); P = P0 e (ст. — μ n / RT); Это выражение описывает распределение частиц по высоте в гравитационном поле. m0 gh = Wп, поэтому n = n0 e (ст. — Wп / kT). Это и есть распределения Больцмана. Оно описывает распределение частиц по высоте в гравитационном поле, а не только в гравитационном поле Земли. Это распределение приемлемо к частицам, находящимся в состоянии заотического теплового движения.

Распределение Больцмана — распределение вероятностей различных энергетических состояний идеальной термодинамической системы (идеальный газ атомов или молекул) в условиях термодинамического равновесия; открыто Л. Больцманом в 1868—1871.

В присутствии гравитационного поля (или, в общем случае, любого потенциального поля) на молекулы газа действует сила тяжести. В результате, концентрация молекул газа оказывается зависящей от высоты в соответствии с законом распределения Больцмана:

n = n0exp(-mgh / kT)

где n - концентрация молекул на высоте h, n0 - концентрация молекул на начальном уровне h = 0, m - масса частиц, g - ускорение свободного падения, k - постоянная Больцмана, T - температура.

Согласно распределению Больцмана среднее число частиц с полной энергией равно

Где N — кратность состояния частицы с энергией E — число возможных состояний частицы с энергией E. Постоянная Z находится из условия, что сумма n по всем возможным значениям равна заданному полному числу частиц в системе (условие нормировки):

В случае, когда движение частиц подчиняется классической механике, энергию можно считать состоящей из

кинетической энергии (кин) частицы (молекулы или атома),

внутренней энергии (вн) (например, энергии возбуждения электронов) и

потенциальной энергии (пот) во внешнем поле, зависящей от положения частицы в пространстве:

Принимая во внимание, что P = nkT, мы можем записать так называемую барометрическую формулу, описывающую изменение атмосферного давления в зависимости от высоты:

P = P0exp(-mgh / kT)

Измеряя давление за бортом самолёта, мы можем вычислить при помощи барометрической формулы приблизительную высоту полёта.