Микроскопические параметры. Вероятность и флюктуации. Распределение молекул /частиц/ по абсолютным значениям скорости. Распределение Максвелла

Микроскопические параметры – это параметры малых частиц (масса молекулы, ее скорость, импульс, энергия), характеризующие движение отдельной частицы

§ 1. Вероятность и правдоподобие

ВЕРОЯТНОСТЬ [probability] — “математическая, числовая характеристика степени возможности появления какого-либо события в тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условиях”

«Вероятность», или «шанс»,— это слово вы слышите почти ежедневно. Вот по радио передают прогноз погоды на завтра: «Вероятно, будет дождь». Вы можете сказать: «У меня мало шансов дожить до ста лет». Ученые тоже часто употребляют эти слова. Сейсмолога интересует вопрос: какова вероятность того, что в следующем году в Южной Калифорнии произойдет землетрясение такой-то силы? Физик может спросить: с какой вероятностью этот счетчик Гейгера зарегистрирует двадцать импульсов в последующие десять секунд? Дипломата или государственного деятеля волнует вопрос: каковы шансы этого кандидата быть избранным президентом? Ну, а вас, конечно, интересует: есть ли шансы что-либо понять в этой главе?

Под вероятностью мы понимаем что-то вроде предположения или догадки. Но почему и когда мы гадаем? Это делается тогда, когда мы хотим вынести какое-то заключение или вывод, но не имеем достаточно информации или знаний, чтобы сделать вполне определенное заключение. Вот и приходится гадать: может быть, так, а может быть, и не так, но больше похоже на то, что именно так. Очень часто мы гадаем, когда нужно принять какое-то решение, например: «Брать ли мне сегодня с собой плащ или не стоит?» «На какую силу землетрясения должен я рассчитывать проектируемое здание?» «Нужно ли мне делать более надежную защиту?» «Следует ли мне менять свою позицию в предстоящих международных переговорах?» «Идти ли мне сегодня на лекцию?»

Иногда мы строим догадки потому, что хотим при ограниченности своих знаний сказать как можно больше о данной ситуации. В сущности ведь любое обобщение носит характер догадки. Любая физическая теория — это своего рода догадка. Но догадки тоже бывают разные: хорошие и плохие, близкие и далекие. Тому, как делать наилучшие догадки, учит нас теория вероятностей. Язык вероятностей позволяет нам количественно говорить о таких ситуациях, когда исход весьма и весьма неопределенен, но о котором все же в среднем можно что-то сказать.

Давайте рассмотрим классический пример с подбрасыванием монеты. Если монета «честная», то мы не можем знать наверняка, какой стороной она упадет. Однако мы предчувствуем, что ври большом числе бросаний число выпадений «орла» и «решки» должно быть приблизительно одинаковым. В этом случае говорят: вероятность выпадения «орла» равна половине.

Мы можем говорить о вероятности исхода только тех наблюдений, которые собираемся проделать в будущем. Под вероятностью данного частного результата наблюдения понимается ожидаемая нами наиболее правдоподобная доля исходов с данным результатом при некотором числе повторений наблюдения. Вообразите себе повторяющееся N раз наблюдение, например подбрасывание вверх монеты. Если NА — наша оценка наибо­лее правдоподобного числа выпадений с результатом А, например выпадений «орла», то под вероятностью Р(А) результата А мы понимаем отношение

P(A) =NA/N (6.1)

Наше определение требует некоторых комментариев. Прежде всего мы говорим о вероятности какого-то события только в том случае, если оно представляет собой возможный результат испытания, которое можно повторить. Но отнюдь не ясно, имеет ли смысл такой вопрос: какова вероятность того, что в этом доме поселилось привидение?

Вы, конечно, можете возразить, что никакая ситуация не может повториться в точности. Это верно. Каждое новое наблюдение должно происходить по крайней мере в другое время или в другом месте. По этому поводу я могу сказать только одно: необходимо, чтобы каждое «повторное» наблюдение казалось нам эквивалентным. Мы должны предполагать по крайней мере, что каждый новый результат наблюдения возник из равноценных начальных условий и из одного и того же уровня начальных знаний. Последнее особенно важно. (Если вы заглянули в карты противника, то, конечно, ваши прогнозы о шансах на выигрыш будут совсем другими, чем если бы вы играли честно!)

Хочу отметить, что я не собираюсь рассматривать значения N и NА в (6.1) только как результат каких-то действительных наблюдений. Число NА — это просто наилучшая оценка того, что могло бы произойти при воображаемых наблюдениях. Поэтому вероятность зависит от наших знаний и способностей быть пророком, в сущности от нашего здравого смысла! К счастью, здравый смысл не столь уже субъективен, как это кажется на первый взгляд. Здравым смыслом обладают многие люди, и их суждения о степени правдоподобия того или иного события в большинстве случаев совпадают. Однако вероятность все же не является «абсолютным» числом. Поскольку в каком-то смысле она зависит от степени нашего невежества, постольку с изменением наших знаний она может меняться.

Отмечу еще одну «субъективную» сторону нашего определения вероятности. Мы говорили, что NА — это «наша оценка наиболее вероятного числа случаев». При этом, конечно, мы не надеялись, что число нужных нам случаев будет в точности равно NА, но оно должно быть где-то близко к NA; это число более вероятно, чем любое другое. Если подбрасывать монету вверх 30 раз, то вряд ли можно ожидать, что число выпадений «орла» будет в точности 15; скорее это будет какое-то число около 15, может быть 12, 13, 14, 15, 16 или 17. Однако если необходимо выбрать из этих чисел какое-то одно число, то мы бы решили, что число 15 наиболее правдоподобно. Поэтому мы и пишем, что Р (орел) = 0,5.

Но почему все же число 15 более правдоподобно, чем все остальные? Можно рассуждать следующим образом: если наиболее вероятное число выпадений «орла» будет no, а полное число подбрасываний N, то наиболее вероятное число выпадений «решек» равно N-NO. (Ведь предполагается, что при каждом подбрасывании должны выпасть только либо «орел», либо «решка» и ничего другого!) Но если монета «честная», то нет основания думать, что число выпадений «орла», например, должно быть больше, чем выпадений «решки»? Так что до тех пор, пока у нас нет оснований сомневаться в честности подбрасывающего, мы должны считать, что Np=Nо, а следовательно, Np=no=N/2, или Р(орел) = P(решка) = 0,5.

Наши рассуждения можно обобщить на любую ситуацию, в которой возможны m различных, но «равноценных» (т. е. равновероятных) результатов наблюдения. Если наблюдение может привести к m различным результатам и ни к чему больше и если у нас нет оснований думать, что один из результатов пред­почтительнее остальных, то вероятность каждого частного исхода наблюдения А будет 1/m, т. е. Р(А) = 1/m.

Пусть, например, в закрытом ящике находятся семь шаров разного цвета и мы наугад, т. е. не глядя, берем один из них. Вероятность того, что у нас в руке окажется красный шар, равна 1/7. Вероятность того, что мы из колоды в 36 карт вытащим даму пик, равна 1/36, такая же, как и выпадение двух шестерок при бросании двух игральных костей.

• • •

В гл. 5 мы определяли размер ядра с помощью затеняемой им площади или так называемого эффективного сечения. По существу речь шла о вероятностях. Если мы «обстреливаем» быстрыми частицами тонкую пластинку вещества, то имеется некая вероятность, что они пройдут через нее, не задев ядер, однако с некоторой вероятностью они могут попасть в ядро. (Ведь ядра столь малы, что мы не можем видеть их, мы, следовательно, не можем прицелиться, и «стрельба» ведется вслепую.) Если в нашей пластинке имеется n атомов и ядро каждого из них затеняет площадь а, то полная площадь, затененная ядрами, будет равна na. При большом числе N случайных выстрелов мы ожидаем, что число попаданий NC будет так относиться к полному числу выстрелов, как затененная ядрами площадь относится к полной площади пластинки:

NC/N=s/A. (6.2)

Поэтому можно сказать, что вероятность попадания каждой из выстреленных частиц в ядро при прохождении сквозь пластинку будет равна

РC =ns/A, (6.3)

где n/А — просто число атомов, приходящихся на единицу площади пластинки.

§ 2. Флуктуации

Флуктуация (от лат. fluctuatio — колебание) — термин, характеризующий любое колебание или любое периодическое изменение. В квантовой механике — случайные отклонения от среднего значения физических величин, характеризующих систему из большого числа частиц; вызываются тепловым движением частиц или квантовомеханическими эффектами.

Примером термодинамических флуктуаций являются флуктуации плотности вещества в окрестностях критических точек, приводящих, в частности, к сильному рассеянию света веществом и потере прозрачности.

Теперь мне бы хотелось несколько подробнее показать, как можно использовать идею вероятности, чтобы ответить на вопрос: сколько же в самом деле я ожидаю выпадений «орла», если подбрасываю монету N раз? Однако, прежде чем ответить на него, давайте посмотрим, что все-таки дает нам такой «эксперимент». На фиг. 6.1 показаны результаты, полученные в первых трех сериях испытаний по 30 испытаний в каждой.

Фиг. 6.1. Последовательность выпадения «орла» и «решки».

Три серии опытов подбрасывания монеты по 30 раз в каждой серии.

Последовательности выпадений «орла» и «решки» показаны в том порядке, как это происходило. В первый раз получилось 11 выпадений «орла», во второй — тоже 11, а в третий — 16. Можно ли на этом основании подозревать, что монета была «нечестной»? Или, может быть, мы ошиблись, приняв 15 за наиболее вероятное число выпадений «орла» в каждой серии испытаний?

Сделаем еще 97 серий, т. е. 100 серий по 30 испытаний в каждой. Результаты их приведены в табл. 6.1.

Таблица б.1 • число выпадений «орла»

Проведено несколько серий испытаний, по 30 подбрасываний монеты в каждой

Взгляните на числа, приведенные в этой таблице. Вы видите, что большинство результатов «близки» к 15, так как почти все они расположены между 12 и 18. Чтобы лучше прочувствовать эти результаты, нарисуем график их распределения. Для этого подсчитаем число испытаний, в которых получилось k выпадений «орла», и отложим это число вверх над k. В результате получим фиг. 6.2.

Вертикальные линии показывают число серий, в которых выпадал k раз «орел». Пунктирная кривая показывает ожидаемое число серий с выпадением k раз «орла», полученное из вычисления вероятностей.

Действительно, в 13 сериях было получено 15 выпадений «орла», то же число серий дало 14 выпадений «орла»; 16 и 17 выпадений получались больше чем 13 раз. Должны ли мы из этого делать вывод, что монетам больше нравится ложиться «орлом» вверх? А может быть, мы неправы в выборе числа 15 как наиболее правдоподобного? Может быть, в действительности более правдоподобно, что за 30 испытаний получается 16 выпадений «орла»? Минуточку терпения! Если мы сложим вместе результаты всех серий, то общее число испытаний будет 3000, а общее число выпадений «орла» в этих испытаниях достигает 1492, так что доля испытаний с выпадением «орла» в результате будет 0,497. Это очень близко к половине, но все же несколько меньше. Нет, мы все-таки не можем предполагать, что вероятность выпадения «орла» больше, чем 0,5! Тот факт, что в отдельных испытаниях «орел» чаще выпадал 16 раз, чем 15, является просто случайным отклонением, или флуктуацией. Мы же по-прежнему ожидаем, что наиболее правдоподобным числом выпадений должно быть 15.

Можно спросить: а какова вероятность того, что в серии из 30 испытаний «орел» выпадет 15 раз или 16, или какое-то другое число раз? Мы говорим, что вероятность выпадения «орла» в серии из одного испытания равна 0,5; соответственно вероятность невыпадения тоже равна 0,5. В серии из двух испытаний возможны четыре исхода: ОО, OP, PO, PP. Так как каждый из них равновероятен, то можно заключить: а) вероятность двух выпадений «орла» равна 1/4; б) вероятность одного выпадения «орла» равна 1/4; в) вероятность невыпадения «орла» равна 1/4. Это происходит потому, что существуют две возможности из четырех равных получить одно выпадение «орла» и только одна возможность получить два выпадения или не получить ни одного.

Рассмотрим теперь серию из трех испытаний. Третье испытание с равной вероятностью может дать либо «орел», либо «решку», поэтому существует только один способ получения трех выпадений «орла»: мы должны получить два выпадения «орла» в двух первых испытаниях и затем выпадение «орла» в последнем. Однако получить два выпадения «орла» можно уже тремя способами: после двух выпадений «орла» может выпасть «решка» и еще два способа — после одного выпадения «орла» в первых двух испытаниях выпадет «орел» в третьем. Так что число равновероятных способов получить 3, 2, 1 и 0 выпадений «орла» будет соответственно равно 1, 3, 3 и 1; полное же число всех возможных способов равно 8. Таким образом, получаются следующие вероятности: 1/8. 3/8, 3/8, 1/8.

Эти результаты удобно записать в виде диаграммы (фиг. 6.3).

Фиг. 6.3. Диаграмма, иллюстрирующая число различных возможностей получения 0, 1, 2 и 3 выпадений «орла» в серии из трех испытаний.

Ясно, что эту диаграмму можно продолжить, если мы интересуемся еще большим числом испытаний. На фиг. 6.4 приведена аналогичная диаграмма для шести испытаний.

Фиг. 6.4. Диаграмма, подобная изображенной на фиг. 6.3, для серии из шести испытаний.

Число «способов», соответствующих каждой точке диаграммы,— это просто число различных «путей» (т. е., попросту говоря, последовательность выпадения «орла» и «решки»), которыми можно прийти в эту точку из начальной, не возвращаясь при этом назад, а высота этой точки дает общее число выпадений «орла». Этот набор чисел известен под названием треугольника Паскаля, а сами числа называются биномиальными коэффициентами, поскольку они появляются при разложении выражения (а+b)n, Обычно эти числа на нашей диаграмме обозначаются символом

(n

k), или Сnk (число сочетаний из n по k), где n — полное число

испытаний, а k — число выпадений «орла». Отмечу попутно, что биномиальные коэффициенты можно вычислять по формуле

(6.4)

где символ п!, называемый «n-факториалом», обозначает произведение всех целых чисел от 1 до n, т. е. 1 • 2 • 3... (n-1)•п. Теперь уже все готово для того, чтобы с помощью выражения (6.1) подсчитать вероятность Р (k, n) выпадения k раз «орла»! в серии из n испытаний. Полное число всех возможностей будет 2" (поскольку в каждом испытании возможны два исхода), а число равновероятных комбинаций, в которых выпадет «орел», будет (), так что

(6.5)

Поскольку Р (k, n) — доля тех серий испытаний, в которых выпадение «орла» ожидается k раз, то из ста серий k выпадений «орла» ожидается 100 Р (k, n) раз. Пунктирная кривая на фиг. 6.2 проведена как раз через точки функции 100 Р (k, 30). Видите, мы ожидали получить 15 выпадений «орла» в 14 или 15 сериях испытаний, а получили только в 13. Мы ожидали получить 16 выпадений «орла» в 13 или 14 сериях испытаний, а получили в 16. Но такие флуктуации вполне допускаются «правилами игры».

Использованный здесь метод можно применять и в более общей ситуации, где в каждом единичном испытании возможны только два исхода, которые давайте обозначим через В (выигрыш) и П (проигрыш). Вообще говоря, вероятности В и П в каждом отдельном испытании могут быть разными. Пусть р, например, будет вероятностью результата В. Тогда q (вероятность результата П) должна быть равна (1-р). В серии из n испытаний вероятность того, что результат В получится k раз, равна

(6.6)

Эта функция вероятностей называется биномиальным законом распределения вероятности.

Согласно молекулярно-кинетической теории — как бы не изменялись скорости отдельных частиц, средняя квадратичная скорость молекулы остается постоянной и равна vкв= (корень) 3kT / m0 = (корень) 3RT / μ; Это объясняется тем, что в газе, находящимся в состоянии термодинамического равновесия, устанавливается некоторое стационарное, независящее от времени, распределение молекул по скоростям.

Закон распределения молекул по скоростям впервые был выведен Максвелом. При выводе этого закона предполагалось, что газ состоит из состоит из очень большого числа частиц N, которые находятся в состоянии хаотического теплового движения, предполагалось, что никакие силовые поля на частицы газа не действуют. Закон Максвела описывает некоторую функцию, называемую функцией распределения молекул по скоростям. Если разбить весь диапозон скоростей на малые интервалы dv, то относительное число молекул, обладающих скоростями, заключенными в этом интервале будет: dN (v) / N = f (v) dv; f (v) = dN(v) / dv N; Функция распределения молекул по абсолютным значениям скорости, полученная Максвелом: f (v) = 4ПИ (m0 / 2ПИ kT) (ст.3/2) v (ст.2) e (ст. — mv / 2kT);

Наибольшая величина скорости: v = (корень) 3kT / m0 = (корень) 3RT / μ; Среднее значение скорости молекул может быть расчитано по формуле

<v> = (корень) 8RT / ПИ μ

Средняя кинетическая энергия частиц. df (v) / N = f (v) dv; Кинетическая энергия одной частицы: E = m0 v (ст.2) / 2; v = (корень) 2E / m0;

Формула распределения частиц по энергии: f (E)= (-2 / [корень] ПИ) (k T (ст. — 3 /2) [корень E] e (ст. — E / fT)); С помощью этой формулы можно расчитать кинетическую энергию частиц: <E> = (интеграл 0 - беск) 2 f (E) dE = (3/2) kT;

МАКСВЕЛЛА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

распределение по скоростям молекул (ч-ц) макроскопич. физ. системы, находящейся в статистич. равновесии, при условии, что движение молекул подчиняется законам классич. механики (пример — классический идеальный газ). Установлено Дж. Максвеллом в 1859. Согласно М. р., вероятное число молекул в ед. объёма f(v), компоненты скоростей к-рых лежат в интервалах от vx до vx+dvx, от vy до vy+dvy и от vz до vz+dvz, определяются ф-цией распределения Максвелла

где т — масса молекулы, n — число молекул в ед. объёма. Отсюда следует, что число молекул, абс. значения скоростей к-рых лежат в интервале от v до v+dv, также называемое М. р., имеет вид:

Оно достигает максимума при скорости vb=?(2kT/m), наз. Наиболее вероятной скоростью. Для мол. водорода при T=273 К vb=1506 м/с. При помощи М. р. можно вычислить ср. значение любой ф-ции от скорости молекулы: ср. скорость vb (рис.).

При возрастании темп-ры максимум М. р. (значение vb) смещается к более высоким темп-рам. М. р. не зависит от вз-ствия между молекулами и справедливо не только для газов, но и для жидкостей, если для них возможно классич. описание. Оно справедливо также и для броуновских ч-ц (см. БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ), взвешенных в жидкости или газе. М. р. может быть получено из канонического распределения Гиббса для классич. системы интегрированием по всем координатам ч-ц, т. к. в этом случае распределение по скоростям не зависит от распределения по импульсам. М. р. есть решение кинетического уравнения Больцмана для частного случая статистич. равновесия.

М. р. было подтверждено экспериментально нем. физиком О. Штерном (1920) в опытах с мол. пучками.