Доверительный интервал для математического ожидания генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение при неизвестной дисперсии

Пусть из генеральной совокупности , имеющей нормальный закон распределения при неизвестной дисперсии и неизвестном математическом ожидании , произведена случайная выборка . Для оценки математического ожидания используем статистику

, (8.4.8)

имеющую –распределение (распределение Стьюдента) с числом степеней свободы.

Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии имеет вид:

. (8.4.9)

Очевидно, что точность оценки равна

. (8.4.10)

Таким образом, доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии строится следующим образом:

1. Вычисляем оценку , которая является средним арифметическим элементов выборки , и исправленную выборочную дисперсию .

2. Вычисляем квантиль –распределения (распределения Стьюдента) с числом степеней свободы.

3. Используя формулу (8.4.9), получаем доверительный интервал.

Замечание. Квантиль –распределения (распределения Стьюдента) с числом степеней свободы можно определить разными способами, например:

§ используя таблицы –распределения (распределения Стьюдента) с числом степеней;

§ используя функцию СТЬЮДРАСПОБР(вероятность;степени_свободы) из EXCEL, при этом аргумент «вероятность» данной функции должен быть равен удвоенному уровню значимости, а аргумент «степени_свободы» должен быть равен ;

§ используя функцию qt(p, d) из MATHCAD, при этом переменные данной функции должны быть равны .

Замечание. При достаточно большом объеме выборки различия между доверительными интервалами, определенными по формулам (8.4.6) и (8.4.9), мало, т.к., при , распределение Стьюдента стремится к нормальному распределению.