Движения пространства

По аналогии с плоскостью определим движения пространства.

О п р е д е л е н и е. Параллельным переносом на вектор называется отображение пространства в себя, при котором каждой точке ставится в соответствие точка такая, что .

Докажите, что параллельный перенос является преобразованием пространства.

Найдите формулы параллельного переноса, покажите, что параллельный перенос является движением первого рода. Определите неподвижные точки и неподвижные прямые при параллельном переносе.

О п р е д е л е н и е. Поворотом вокруг прямой на угол называется отображение пространства в себя, при котором каждой точке ставится в соответствие точка , полученная в результате поворота плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой и пересекающей в точке .

Найдите формулы поворота вокруг оси аппликат прямоугольной системы координат. Покажите, что поворот вокруг прямой является движением первого рода. Определите неподвижные точки и неподвижные прямые этого преобразования.

О п р е д е л е н и е. Винтовым движением называется композиция поворота вокруг прямой и параллельного переноса на вектор, параллельный оси поворота: .

Сравнив число неподвижных точек и прямых, можно сделать вывод, что винтовое движение является движением первого рода, отличным от параллельного переноса и поворота вокруг прямой.

О п р е д е л е н и е. Отражением от плоскости называется отображение пространства в себя, при котором каждой точке пространства ставится в соответствие точка, симметричная ей относительно .

Точки симметричные относительно плоскости определяются аналогично точкам, симметричным относительно прямой.

Найдите формулы отражения относительно плоскости прямоугольной системы координат. Покажите, что отражение от плоскости является движением второго рода. Определите неподвижные точки и неподвижные прямые этого преобразования.

О п р е д е л е н и е. Скользящим отражением называется композиция отражения от плоскости и параллельного переноса на вектор, параллельный этой плоскости: .

Сравнив число неподвижных точек и прямых, можно сделать вывод, что скользящее отражение является движением второго рода, отличным от отражения от плоскости.

О п р е д е л е н и е. Поворотным отражением называется композиция отражения от плоскости и поворота вокруг прямой, перпендикулярной этой плоскости: .

Сравнив число неподвижных точек и прямых, можно сделать вывод, что поворотное отражение является движением второго рода, отличным от отражения от плоскости и от скользящего отражения.

Можно показать, что других движений пространства не существует.

По аналогии с плоскостью можно показать, что

1. Композиция отражений от двух пересекающихся плоскостей есть поворот вокруг пересечения плоскостей, на угол, равный удвоенному углу между плоскостями.

2. Композиция отражений от двух параллельных плоскостей есть параллельный перенос на вектор, ортогональный плоскостям, длина которого равна удвоенному расстоянию между плоскостями.

3. Всякое движение пространства является композицией не более четырех отражений от плоскотей.

Представьте каждое из шести движений пространства в виде композиции отражений от плоскостей.

Литература

1. Атанасян, Л.С. Геометрия, Ч. 1 / Л.С. Атанасян, В.Т. Базылев. − М.: Просвещение, 1987. – 351 с.

2. Базылев, В.Т. Геометрия, Ч. 1 / В.Т. Базылев, К.И. Дуничев, В.И. Иваницкая. – М.: Просвещение, 1975. − 367 с.

Толстопятов Владимир Павлович

Геометрия

Курс лекций, 2 семестр

Подписано в печать Формат 60х84/16

Бумага для множительных аппаратов

Усл. печ. л. 6 Тираж 150 экз. Заказ

Уральский государственный педагогический университет

Екатеринбург, пр. Космонавтов, 26