Теорема Шаля

З а д а ч а 1. Доказать, что композиция двух осевых симметрий с пересекающимися осями есть поворот вокруг точки пресечения на угол в два раза больший, чем угол между осями, и направленный от первой оси ко второй: .

С л е д с т в и е. Любой поворот можно представить в виде композиции осевых симметрий с пересекающимися осями, и таких разложений бесконечно много.

Ответьте на вопрос: «Как выбирать оси таких осевых симметрий?»

З а д а ч а 2. Доказать, что композиция двух осевых симметрий с параллельными осями есть параллельный перенос на вектор, перпендикулярный осям, направленный от первой оси ко второй, длина которого равна удвоенному расстоянию между осями: .

С л е д с т в и е. Любой параллельный перенос можно представить в виде композиции двух осевых симметрий с параллельными осями, и таких разложений бесконечно много.

Ответьте на вопрос: «Как выбирать оси таких осевых симметрий?»

Т е о р е м а 1. (о разложении движения в композицию осевых симметрий). Всякое движение можно представить в виде композиции не более трех осевых симметрий.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Идея доказательства состоит в следующем. Пусть движение плоскости. Выберем произвольный ортонормированный репер . Тогда так же ортонормированный репер. Почему?

Пара ортонормированных реперов и однозначно определяет движение. Таким образом, если покажем существование композиции не более трех осевых симметрий, переводящей репер в репер , то эта композиция будет совпадать с движением .

В случае, когда начала реперов совпадают, репер перейдет в репер в результате композиции симметрии относительно серединного перпендикуляра к отрезку и симметрии относительно прямой .

Если точки и не совпадают, то при симметрии относительно серединного перпендикуляра к отрезку репер перейдет в репер , имеющий с репером общее начало. По предыдущему случаю репер переходит в репер в результате двух осевых симметрий. Тогда репер перейдет в репер в результате трех осевых симметрий.

Т е о р е м а Ш а л я. Любое движение плоскости является либо параллельным переносом, либо поворотом, либо осевой симметрией, либо скользящей симметрией.

Д о к а з а т е л ь с т в о. По предыдущей теореме движение можно представить в виде композиции не более трех осевых симметрий. Возможны случаи:

1.

a. , тогда ;

b. , тогда .

2.

a. , тогда ;

b. , тогда ;

c. , тогда

;

d. , тогда

, где .

Тогда , где . Таким образом, , где и, следовательно .

Теорема доказана.

Множество всех движений плоскости является группой относительно композиции преобразований. Подгруппами этой группы являются множество Т всех параллельных переносов, множество всех движений первого рода.

Фигуры и называются конгруэнтными, если они эквивалентны относительно группы всех движений плоскости. Примерами конгруэнтных фигур являются два треугольника, соответственные стороны которых равны, два эллипса (две гиперболы), соответственные полуоси которых равны, две параболы, фокальные параметры которых равны.