Задача № 325

Известно, что рыночный спрос S и предложение Р на некоторый товар линейно зависят от цены р:

;

Исследование рынка показало, что скорость изменения цены пропорциональна превышению спроса над предложением с коэффициентом пропорциональности .

1. напишите дифференциальное уравнение, характеризующее зависимость цены от времени t и решите его при условии, что начальная цена товара имела значение .

2. Покажите, что цена p(t) с течением времени стремится к равновесному значению . Найдите и постройте график процесса установления равновесия.

Решение:

1. Дифференциальное уравнение, характеризующее зависимость цены от времени имеет следующий вид:

Найдем общее решение получившегося дифференциального уравнения:

Итак, общее решение:

При условии, что начальная цена товара имела значение получим:

2)