Математика. 1. Матрицы. Основные определения

1. Матрицы. Основные определения. Виды матриц.

2. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц. Свойства этих действий.

3. Обратная матрица, ее определение, свойства и вычисление.

4. Определители 2-го, 3-го и n -го порядков. Способы их вычисления и свойства.

5. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные определения.

6. Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом.

7. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

8. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

9. Векторы. Основные определения и понятия.

10. Линейные операции над векторами. Их свойства.

11. Скалярное произведение векторов: определение, свойства, вычисление в декартовых координатах, приложения.

12. Векторное произведение векторов: определение, свойства, вычисление в декартовых координатах, приложения.

13. Смешанное произведение векторов: определение, свойства, вычисление в декартовых координатах, приложения.

14. Прямоугольная система координат на плоскости. Уравнение линии в декартовой системе координат.

15. Различные виды уравнений прямой на плоскости.

16. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой.

17. Кривые второго порядка.

18. Различные виды уравнений плоскости в пространстве.

19. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.

20. Прямая линия в пространстве. Различные виды уравнений прямой в пространстве.

21. Угол между прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Условие, при котором две прямые лежат в одной плоскости.

22. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Точка пересечения прямой с плоскостью. Условие принадлежности прямой плоскости.

23. Поверхности второго порядка. Цилиндрические поверхности.

24. Поверхности вращения. Конические поверхности.

25. Метод сечений. Канонические уравнения поверхностей второго порядка.

26. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности.

27. Теоремы о пределах суммы, разности, произведении и частном функций. Теорема о пределе промежуточной функции.

28. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел.

29. Классификация точек разрыва функции.

30. Основные теоремы о непрерывных функциях. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

31. Задачи, приводящие к понятию производной: задача о скорости прямолинейного движения точки; задача о касательной к кривой.

32. Определение производной, ее механический, физический и геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой.

33. Производная суммы, разности, произведения и частного функций. Производная сложной и обратной функций.

34. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Основные теоремы о дифференциалах. Таблица дифференциалов. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

35. Теоремы Ролля, Коши и Лагранжа о дифференцируемых функциях.

36. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей

37. Виды неопределенностей и их раскрытие.

38. Возрастание и убывание функций. Максимум и минимум функций. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

39. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.

40. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построение графика.

41. Формула Тейлора для многочлена и для произвольной функции. Формула Маклорена.

42. Разложение основных элементарных функций по формуле Маклорена. Применение формулы Маклорена к вычислению пределов.

43. Понятие функции двух переменных. Основные определения.

44. Полное и частные приращения функции двух переменных. Частные производные первого порядка.

45. Частные производные высших порядков.

46. Полный дифференциал функции двух переменных.

47. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

48. Экстремум функции двух переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума.

49. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области.

50. Производная по направлению. Градиент функции и его свойства.

51. Многочлены. Основные понятия. Дробно–рациональные функции. Представление неправильной рациональной дроби в виде суммы целой части и правильной дроби. Представление правильной рациональной дроби в виде суммы простейших дробей. Метод неопределенных коэффициентов.

52. Первообразная функции и неопределенный интеграл, их определение и свойства. Таблица неопределенных интегралов.

53. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

54. Интегрирование выражений, зависящих от квадратного трехчлена.

55. Интегрирование рациональных функций.

56. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений. Универсальная тригонометрическая подстановка.

57. Интегрирование иррациональных выражений. Дробно–линейная подстановка.

58. Определение определенного интеграла. Формула Ньютона – Лейбница.

59. Свойства определенного интеграла. Определенный интеграл с переменным верхним пределом.

60. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле.

61. Несобственные интегралы с бесконечными пределами (несобственные интегралы I рода).

62. Несобственные интегралы от разрывных функций (несобственные интегралы II рода).

63. Вычисление площади плоской фигуры в декартовых координатах.

64. Вычисление площади плоской фигуры в полярных координатах.

65. Вычисление длины дуги плоской кривой в декартовых и в полярных координатах.

66. Вычисление объема тела по известным площадям параллельных поперечных сечений. Объем тела вращения.

67. Определение двойного интеграла и его свойства. Геометрический и физический смысл двойного интеграла.

68. Правильные области на плоскости. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.

69. Замена переменных в двойном интеграле. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.

70. Приложения двойных интегралов: вычисление объема цилиндрического тела и площади плоской фигуры; нахождение массы, статических моментов, координат центра тяжести и моментов инерции тонкой пластинки.

71. Определение и свойства криволинейных интегралов I рода.

72. Вычисление и приложения криволинейных интегралов I рода.

73. Определение и свойства криволинейных интегралов II рода.

74. Вычисление криволинейных интегралов II рода.

75. Формула Остроградского - Грина.

76. Приложения криволинейных интегралов II рода.

77. Числовые ряды. Основные определения. Свойства числовых рядов.

78. Геометрическая прогрессия. Гармонический ряд. Обобщенный гармонический ряд.

79. Необходимый признак сходимости. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов: признаки сравнения.

80. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов: признак Даламбера, интегральный и радикальный признаки Коши.

81. Функциональные ряды. Основные определения. Область сходимости функционального ряда.

82. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов.

83. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.

84. Тригонометрический ряд Фурье. Коэффициенты Фурье.

85. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные определения.

86. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные определения. Задача Коши. Теорема существования и единственности задачи Коши.

87. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

88. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

89. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод И. Бернулли.

90. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной).

91. Дифференциальные уравнения Я. Бернулли.

92. Дифференциальные уравнения высших порядков. Основные определения. Задача Коши. Теорема существования и единственности задачи Коши.

93. Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.

94. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

95. (ЛОДУ II). Определения и основные свойства решений ЛОДУ II.

96. Линейная зависимость и независимость функций. Определитель Вронского. Свойства определителя Вронского.

97. Структура общего решения ЛОДУ II.

98. ЛОДУ II с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение.

99. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка (ЛНДУ II).

100. Решение ЛНДУ II методом вариации произвольных постоянных.

101. Решение ЛНДУ II с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

102. Элементы комбинаторики.

103. Предмет теории вероятностей. Случайные события, основные определения.

104. Классическое определение вероятности случайного события. Свойства вероятностей.

105. Алгебра случайных событий. Сложение и умножение случайных событий. Зависимые и независимые события. Условная вероятность.

106. Теоремы умножения вероятностей.

107. Теоремы сложения вероятностей. Вероятность появления хотя бы одного события.

108. Формула полной вероятности.

109. Схема Бернулли, формула Бернулли, формула Пуассона.

110. Схема Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

111. Случайная величина. Основные определения. Закон распределения дискретной случайной величины.

112. Функция распределения дискретной случайной величины и ее свойства.

113. Функция распределения непрерывной случайной величины и ее свойства.

114. Функция плотности вероятности. Ее свойства.

115. Математическое ожидание дискретной случайной величины. Свойства математического ожидания.

116. Дисперсия дискретной случайной величины. Свойства дисперсии. Среднее квадратическое отклонение.

117. Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины.

118. Биномиальное распределение случайной величины.

119. Равномерное распределение случайной величины.

120. Показательное распределение случайной величины.

121. Нормальное распределение случайной величины.

122. Предмет математической статистики. Выборочный метод.

123. Вариационный ряд. Полигон, гистограмма, эмпирическая функция распределения.

124. Числовые характеристики выборки.

125. Статистические оценки параметров распределения. Основные понятия.

126. Точечные оценки параметров распределения.

127. Интервальная оценка параметров распределения. Построение доверительных интервалов.