Определение момента инерции тела методом крутильных колебаний

Лабораторная работа 14

I. Цель работы: определение момента инерции тела методом крутильных колебаний.

II. Приборы и принадлежности: экспериментальная установка, секундомер, штангенциркуль, измерительная линейка.

III. Теоретическая часть.

При изучении вращательного, либо колебательного движений твердого тела используют понятие момента инерции. Моментом инерции твердого тела (либо системы тел) относительно некоторой оси называется физическая величина, равная сумме произведения масс материальных точек системы на квадрат их расстояний до оси вращения:

,

где n – число материальных точек, составляющих тело, либо систему тел.

В случае непрерывного распределения масс момент инерции может быть определен интегралом: ,

где r – функция положения точки массой dm.

Момент инерции зависит от массы тела и формы распределения массы относительно оси вращения.

Гармоническим крутильным колебанием тела называется периодическое движение относительно оси, проходящей через центр тяжести этого тела, когда угол отклонения от положе­ния равновесия изменяется по закону синуса или косинуса:

, (1)

где j – угловое смещение, j₀ – максимальное угловое смещение,

– циклическая частота, Т – период колебаний.

Угловое ускорение колебаний определяется как вторая производная от углового смещения по времени:

(2)

С учетом (1) равенство (2) можно переписать в виде:

(3)

Если твердое тело совершает крутильные колебания, то к нему может быть применен основной закон динамики вращательного движения:

(4)

где M – вращающий момент (момент возвращающей силы) относитель-но оси ОО₁ (Рис1), I – момент инерции тела относительно той же оси.

Знак «–» указывает на то, что возвращающий момент всегда направлен к положению равновесия. Закрученная нить создаёт противодействующий момент силы упругости М_упр., который при малых углах закручивания j по закону Гука пропорционален этому углу:

(5)

где N – направляющий момент, зависящий только от материала нити, её длины и сечения и является величиной постоянной для данного лабораторного прибора.

Возвращающий момент M и момент силы упругости М_упр. равны между собой и приравнивая правые части уравнений (4) и (5), получим:

(6)

При помещении на испытуемое тело (см. рис.1) двух одинаковых грузов цилиндрической формы массой m каждый, момент инерции системы, состоящей из испытуемого тела и грузов, будет равен:

(7)

где I₀ – момент инерции двух грузов относительно оси ОО₁.

Согласно теореме Штейнера момент инерции двух цилиндров относительно оси ОО₁ равен:

(8)

где а – расстояние от оси вращения ОО₁ до оси цилиндров,

r – радиус цилиндра.

Момент инерции испытуемого тела и двух цилиндров будет равен:

(9)

В соответствии с равенством (6) для нагруженного тела также выполняется условие

(10)

Приравнивая правые части уравнений (6) и (10), получаем:

откуда находим момент инерции испытуемого тела

(11)

Учитывая, что и , получаем:

(12)

где Т – период колебаний испытуемого тела без грузов,

Т₁ – период колебаний испытуемого тела с грузами.