Аналитические кривые

Занимательная математика

В рамках элементарной геометрии понятие кривой не получает отчётливой формулировки и иногда определяется как «длина без ширины» или как «граница фигуры». По существу в элементарной геометрии изучение кривых сводится к рассмотрению примеров (прямая, отрезок, ломаная, окружность и др.). Не располагая общими методами, элементарная геометрия довольно глубоко проникла в изучение свойств конкретных кривых (конические сечения, некоторые алгебраические кривые высших порядков и также трансцендентные кривые), применяя в каждом случае специальные приёмы. Чаще всего кривая определяется как непрерывное отображение из отрезка в пространство:

Но не будем вдаваться в такие подробности. Просто приведем примеры этих кривых.

Аналитические кривые.

Алгебраические и трансцендентные кривые:

Алгебраические кривые, задаваемые уравнением 1-й степени, суть прямые.

Примеры кривой, задаваемой уравнениями 3-ей степени: циссоида Диокла,

По-гречески плющ — χισσος («хиссос»), от чего и произошло название кривой — «Циссоида».

Уравнение Циссоиды

Примеры кривых 4-ой степени: лемниската Бернулли и овал Кассини.

Название происходит от греч. λημνισχος — лента, повязка. В Древней Греции «лемнискатой» называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх. Эту лемнискату называют в честь швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало её изучению.

Уравнение Лемнискаты Бернулли

, где

Пример кривой, определяемой уравнением чётной степени: (многофокусная) лемниската.