Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как противостоять манипуляциям мужчин? Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Формула Муавра





·

· где — модуль, а — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 году. Приведенная формула справедлива при любом целом n, не обязательно положительном.

· Аналогичная формула применима также и при вычислении корней -ой степени из ненулевого комплексного числа:

·

·

·


 

2. Функция одной переменной –это правило, по которому каждому значению независимой переменной (из области определения) соответствует одно и только одно значение функции . Естественно, x и y– действительные числа.

Однозначная функция комплексной переменной – это правило, по которому каждому комплексному значению независимой переменной (из области определения) соответствует одно и только одно комплексноезначение функции .

Понятие обратной функции для функции комплексного переменного вводится, как и в действительной области.

 

Пусть задана функция . Тогда по определению любому числу из области соответствует одно или несколько значений из области таких, что , т.е. для любого уравнение имеет решения и области . В таком случае говорят, что уравнение определяет функцию , обратную функции .

 

Существование функции, согласно определению, предполагает ее однотипность, т.е. для случая обратной функции — это единственность решения уравнения при всяком фиксированном из . Очевидно, в общем случае уравнение определяет неоднозначную функцию.

 

Достаточным условием однозначности обратной функции является однолистность функции .


3. Производная для комплексной функции одного аргумента определяется так же, как и для вещественной:

(здесь — комплексное число). Если этот предел существует, функция называется дифференцируемой или голоморфной. При этом

Следует учитывать одну важную особенность: поскольку комплексная функция задана на плоскости, существование приведённого предела означает, что он одинаков при стремлении к с любого направления. Этот факт накладывает существенные ограничения на вид функций-компонент и определяет их жёсткую взаимосвязь (условия Коши — Римана):



Аналити́ческая функция (действительного переменного) — функция, которая совпадает со своим рядом Тейлора в окрестности любой точки области определения.

Однозначная функция называется аналитической в точке , если сужение функции на некоторую окрестность является аналитической функцией. Если функция аналитична в точке , то она аналитическая в каждой точке некоторой окрестности точки .

Аналитическая функция (комплексного переменного) — функция комплексного переменного (где и — вещественнозначные функции комплексного переменного, являющиеся, соответственно, вещественной и мнимой частью рассматриваемой функции), для которой в каждой точке некоторой односвязной области , называемой областью аналитичности, выполняется одно из трёх равносильных условий:

1. Для вещественной и мнимой части этой функции в каждой точке выполняются условия Коши — Римана (аналитичность в смысле Коши — Римана);

2. Ряд Тейлора функции в каждой точке сходится и его сумма равна (аналитичность в смысле Вейерштрасса);

3. Интеграл для любой замкнутой кривой (аналитичность в смысле Коши)


5. Пусть - непрерывная функция комплексного , определенная в области и - гладкая кривая, лежащая в , с началом в точке и концом в точке (рис. 137), заданная уравнением

или, что все равно, двумя уравнениями

. (1)

Рис. 137

Как всегда, направление на соответствует изменению параметра от до .

Интеграл от функции вдоль кривой определяется следующим образом:

.

Если учесть, что и , то равенство (2) можно коротко записать так:

. (3)

Интеграл (2) существует для любой непрерывной функции (в этом случае функции и также непрерывны) и любой гладкой кривой (т. е. когда , ) непрерывны и ).

Если кривая кусочно-гладкая и состоит из гладких ориентированных кусков , то по определению считаем

. (4)

На основании свойств криволинейного интеграла легко получаем

1)

,

где та же кривая, что и , но ориентированная противоположно (см. нашу книгу «Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление», § 7.4).

2)

,

где - постоянные числа.

3)

Если при , то

,

где - длина .

В самом деле, на основании свойства обыкновенного интеграла имеем

.


6. Пусть — область на комплексной плоскости с кусочно-гладкой границей , функция — голоморфна в и — точка внутри области . Тогда справедлива следующая формула Коши:








Date: 2015-12-11; view: 53; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2018 year. (0.006 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию