Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Формационные свойства нильпотентных алгебр
Как уже отмечалось, все алгебры считаются принадлежащими некоторому фиксированному мальцевскому многообразию и используются стандартные обозначения и определения из[1]. Напомним, что для и – конгруэнции на алгебре – говорят, что централизует (записывается: ), если на существует такая конгруэнция , что: 1) из всегда следует
2) для любого элемента всегда выполняется
3) если , то
Очевидно, что для любой конгруэнции на алгебре конгруэнция централизует . В этом случае . Заметим, что если и – конгруэнции на группе и , то для нормальных подгрупп и группы и любых элементов , имеют место следующие соотношения:
Тогда
и в силу транзитивности из этих соотношений следует, что
По определению 2.1 получаем, что
Следующее определение центральности принадлежит Смиту. Определение 3.1. , если существует такая , что для любого ,
Докажем, что определение 2.1. эквивалентно определению 3.1. означает условие 1) из определения 2.1. И наоборот, условие 1) означает, что . Пусть и – конгруэнции, удовлетворяющие определению 2.1. Из условия 2) следует, что для любого элемента ,
Докажем обратное включение. Пусть . Так как , то из условия 2) следует, что
В силу транзитивности имеем
и, значит, в силу условия 3) . Итак
Покажем, что из определения 3.1. следуют условия 2) и 3) определения 2.1. Если , то
Это означает . Для получаем, что
откуда . Согласно работе Определение 3.2. Алгебра называется нильпотентной, если существует такой ряд конгруэнции
называемый центральным, что
Лемма 3.1. Любая подалгебра нильпотентной алгебры нильпотентна. Доказательство: Пусть – подалгебра нильпотентной алгебры . Так как обладает центральным рядом
то для любого на алгебре существует конгруэнция удовлетворяющая определению 2.1. А именно, из
всегда следует
и 1) для любого элемента
всегда выполняется
2) если
и
то
Заметим, что в дальнейшем, для сокращения записи, будем учитывать тот факт, что
тогда и только тогда, когда
Построим следующий ряд конгруэнции на алгебре :
где
Покажем, что этот ряд является центральным. Для этого на алгебре для любого определим бинарное отношение следующим образом:
тогда и только тогда, когда
Покажем, что – конгруэнция на алгебре . Пусть
Тогда
и для любой -арной операции имеем
Следовательно,
Итак, – подалгебра алгебры . Очевидно, что для любого элемента имеет место
Таким образом, согласно лемме 2.3, – конгруэнция на алгебре . Пусть
Тогда и так как , то
Если , то и, значит,
т.е.
Пусть, наконец,
Тогда
и так как
Следовательно,
Итак, конгруэнция удовлетворяет определению 2.1. для любого . Лемма доказана. Лемма 3.2. Пусть и – конгруэнции на алгебре ,
и – изоморфизм, определенный на алгебре . Тогда для любого элемента отображение
определяет изоморфизм алгебры на алгебру , при котором
Доказательство: Очевидно, что – изоморфизм алгебры на алгебру , при котором конгруэнции и изоморфны соответственно конгруэнциям и . Так как , то существует конгруэнция на алгебре , удовлетворяющая определению 2.1. Изоморфизм алебры на алгебру индуцирует в свою очередь изоморфизм алгебры на алгебру такой, что
для любых элементов , . Но тогда легко проверить, что – конгруэнция на алгебре изоморфная конгруэнции . Это и означает, что
Лемма доказана. Лемма 3.3. Фактор-алгебра нильпотентной алгебры нильпотентна. Доказательство: Пусть
центральный ряд алгебры . Покажем, что для любой конгруэнции на алгебре ряд
является центральным, т.е.
для любого . В силу известных теорем об изоморфизмах для алгебр (см., например, теоремы II.3.7, II.3.11) и леммы 3.2., достаточно показать, что
Пусть – конгруэнция на алгебре , удовлетворяющая определению 2.1. Определим бинарное отношение на алгебре следующим образом
тогда и только тогда, когда найдутся такие элементы , что
и
Непосредственной проверкой убеждаемся, что – конгруэнция на алгебре . Таким образом осталось показать, что удовлетворяет определению 2.1. Пусть
тогда из соотношения
следует, что
Так как
то . Итак,
Пусть . Тогда для некоторого элемента , и . Таким образом,
следовательно,
Так как , то это означает, что
Пусть
где
Покажем, что . В силу определения найдутся , что
и
При этом имеют место следующие соотношения:
Следовательно,
Но тогда по определению 3.2.
А так как , то
Теперь из того, что
следует, что
Лемма доказана. Доказательство следующего результата осуществляется простой проверкой. Лемма 3.4. Пусть – конгруэнция на алгебре , . Пологая
тогда и только тогда, когда для любого , получаем конгруэнцию на алгебре . Лемма 3.5. Прямое произведение конечного числа нильпотентных алгебр нильпотентно. Доказательство: Очевидно, достаточно показать, что если , и – нильпотентные алгебры, то – нильпотентная алгебра. Пусть
центральные ряды алгебр и соответственно. Если , то, уплотнив первый ряд повторяющимися членами, получим центральный ряд алгебры длины . Таким образом, можно считать, что эти ряды имеют одинаковую длину, равную . Построим теперь ряд конгруэнции на алгебре следующим образом:
где тогда и только тогда, когда , , . Покажем, что последний ряд является центральным, т.е. для произвольного . Так как
то на алгебрах и соответственно заданы конгруэнци и , удовлетворяющие определению 2.1. Определим бинарное отношение на алгебре следующим образом:
и только тогда, когда
и
Легко непосредственной проверкой убедиться, что – конгруэнция на алгебре . Осталось показать, что удовлетворяет определению 2.1. Пусть имеет место
Тогда согласно введенному определению
и
откуда следует, что
т.е.
Пусть
Это означает
Но тогда
и
Следовательно,
Пусть имеет место
Это означает, что
и
Значит, и , т.е. . Лемма, доказана. Как известно, наследственной формацией называется класс алгебр, замкнутых относительно фактор-алгебр, подпрямых произведений и относительно подалгебр. Результаты, полученные в леммах 3.1, 3.3, 3.5 можно сформулировать в виде следующей теоремы. Теорема 7 Класс всех нильпотентных алгебр мальцевского многообразия является наследственной формацией. Определение 3.3. -арная группа называется нильпотентной, если она обладает таким нормальным рядом
что
и
для любого . Так как конгруэнции на -арных группах попарно перестановочны (смотри, например,), то это дает возможность использовать полученные результаты в исследовании таких групп. Лемма 3.6. Пусть – -арная группа. и – нормальные подгруппы группы и . Тогда , где и конгруэнции, индуцированные соответственно подгруппами и на группе . Доказательство: Подгруппы и индуцируют на группе конгруэнции и , определяемые следующим образом:
– -арная операция. Определим на бинарное отношение следующим образом:
тогда и только тогда, когда существуют такие последовательности элементов и из и соответственно, что
Покажем, что – подалгебра алгебры . Для сокращения записи будем в дальнейшем опускать -арный оператор . Пусть
Так как , то
Так как , то
Поэтому в силу того, что ,
Итак, – подалгебра алгебры . Пусть – нейтральная последовательность группы , а, следовательно, и группы . Тогда из определения бинарного отношения следует, что
Тем самым доказало, что – конгруэнция на . Тo, что удовлетворяет определению 2.1, очевидно. Лемма доказана. Лемма 3.7. Пусть – нильпотентная -арная группа. Тогда удовлетворяет определению 2.1. Доказательство: Так как для любого , то индуцирует конгруэнцию на . Таким образом обладает рядом конгруэнции, который в силу леммы 3.6 будет являться центральным. Лемма доказана. В частности, для произвольной бинарной группы отсюда следует, что нильпотентна тогда и только тогда, когда, удовлетворяет определению 3.2. В этом случае теорема 3.2 просто констатируе тот факт, что класс всех нильпотентных групп образует наследственную формацию.
|