Линейные операции над векторами. Линейными операциями над векторами называют операции сложения, вычитания векторов и умножение вектора на число

Линейными операциями над векторами называют операции сложения, вычитания векторов и умножение вектора на число.

Определение. Пусть и - два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор . От точки А отложим вектор . Вектор , соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов и : .

Это правило сложения векторов называют правилом треугольника.

Таким образом, правило треугольника можно применять для любого конечного числа складываемых векторов.

Сумму двух векторов можно построить и по правилу параллелограмма.

Определение. Разностью векторов и называется вектор такой, что .

Таким образом, если на векторах и , отложенных из общей точки О, построить параллелограмм ОАСВ, то вектор , совпадающий с одной диагональю, равен сумме , а второй , совпадающий с другой диагональю, - разности .

Определение. Произведением вектора на число (скаляр) называется вектор , который имеет длину , коллинеарен вектору , имеет направление вектора , если и противоположное направление, если . Например, если дан вектор , то векторы и будут иметь вид

Из определения следует: два вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство : .

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7) .

Пример 1. Отрезок АВ разделен точками С и D на три равные части. Точка О не принадлежит отрезку АВ. Векторы , . Выразить через и вектор .

Решение. Выполним построения

,

Пример 2. В параллелограмме ABCD , где О точка пересечения диагоналей. Выразить через и вектор

Решение. Выполним построения

или

Векторы и - противоположные, т.к. (по свойству диагоналей параллелограмма), , тогда