Обоснование и общий вид формул для коэффициентов распределения

Норма дисконта, используемая при дисконтировании разновременных затрат, результатов и эффектов, отражает годовую доходность альтернативных и доступных для участника проекта вложений капитала. При этом термин "годовая доходность" может трактоваться по-разному, что приводит к различным формулам для расчетов коэффициентов дисконтирования и равномерности.

При "непрерывной" трактовке значение нормы дисконта, равное Е, означает, что участник считает эквивалентными получение единовременного (в момент приведения t = t(0) дохода К рублей и непрерывного равномерного получения доходов с интенсивностью ЕК рублей в год в течение неограниченного периода, начиная с момента t(0). Соответственно проект, предусматривающий единовременные инвестиции К и последующее равномерное непрерывное получение доходов с интенсивностью ЕК рублей в год, рассматривается как лежащий на границе между эффективными и неэффективными. Такая трактовка используется в расчетах "в непрерывном времени", в том числе при аналитической оценке эффективности ИП на основе математического моделирования непрерывных денежных потоков. В этом случае коэффициент дисконтирования (приведения к моменту времени t(0) затрат, результатов и эффектов, осуществляемых в малом интервале времени (t, t + dt), рассчитывается по формуле

-E(t - t)

альфа = e.

t

Дисконтирование затрат (и аналогично - результатов или эффектов), распределенных в некотором конечном (а не бесконечно малом) интервале времени (s, s + дельта), осуществляется при этом следующим способом. Пусть F(t) - исчисленная накопленным итогом сумма затрат, осуществляемых от начала интервала (момента s) до момента t, a F(дельта)- полная сумма этих затрат. Тогда дисконтированная сумма затрат F_инт, осуществляемых на всем рассматриваемом интервале, составит

s + дельта E(t - t)

F = интеграл e dF(t).

инт s

При использовании второго способа дисконтирования это выражение можно представить в виде:

F = F(дельта) x альфа x гамма,

инт

-E (s + дельта - t)

где альфа = e - коэффициент дисконтирования,

относящийся к концу интервала.

гамма - коэффициент распределения, рассчитываемый по формуле:

s + дельта E(s + дельта - t) dF(t)

гамма = интеграл e ————————— =

s F(дельта)

s + дельта E(s + дельта - t)

= 1 + E интеграл q(t) x e dt, (П6.4)

s

dF(t)

где q(t) = ————————— - доля общих затрат за интервал, осуществленных

F(дельта) до момента t.

В частности: - если затраты, результаты или эффекты доетигаются в момент t = s (в начале интервала), расчетная формула (П6.3) для коэффициента распределения принимает вид

E дельта

гамма = e; (П6.5)

- если затраты, результаты или эффекты достигаются при t = s + дельта (в конце интервала), коэффициент распределения (П6.3) оказывается равным единице:

гамма = 1; (П6.6)

- если затраты, результаты или эффекты осуществляются равномерно на

интервале (s; s + дельта), расчетная формула (П6.3) для коэффициента

распределения принимает вид

E дельта

-1

e

гамма = ———————————. (П6.7)

E x дельта

Аналогично могут быть получены формулы для гамма при первом способе учета внутришаговых распределений денежных потоков.

При "дискретной" трактовке, принятой в настоящих Рекомендациях, значение нормы дисконта, равное Е, означает, что участник считает эквивалентными получение единовременного (в момент t(0) дохода К рублей и равномерного получения доходов ЕК рублей ежегодно, в конце каждого года, т.е. в моменты t(0) + 1, t(0) + 2.... Соответственно проект, предусматривающий единовременные инвестиции К рублей и последующее получение доходов ЕК рублей ежегодно, рассматривается как лежащий на границе между эффективными и неэффективными.

Расчетные формулы для коэффициента равномерности в этом случае отличаются от (П6.5) - (П6.7) заменой Е на 1n (1 + E).

Для разных распределений затрат, результатов или эффектов по m-му шагу при этом получаются формулы для гамма_m, приведенные в табл.П6.1 и П.6.2.

При малых (до 10 - 20%) значениях Е формулы для непрерывного и дискретного случаев дают практически одинаковые значения.

В случае если на каком-либо шаге распределения во времени притоков и оттоков реальных денег существенно различаются (например, оттоки осуществляются в основном в начале шага, а притоки - в конце), рекомендуется во избежание значительных ошибок, применять к притокам и оттокам реальных денег разные значения коэффициентов распределения, особенно если длительность шага более 1 года.