Лінійна оптимизаційна задача. Постановка завдання про оптимальне виробництво фарб

ПРАКТИЧНА РОБОТА № 4.

Тема: Розв'язання оптимізаційних задач. Лінійна оптимізаційна задача.

Ціль: Навчитися розв’язувати лінійні оптимізаційні задачі.

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ.

Пошук рішення та розв'язання оптимізаційних задач

В MS Excel є потужний інструмент вирішення оптимізаційних задач – Поиск решения (пошук рішення). Пошук рішення є однією із надбудов (add-ins) MS Excel. Якщо в меню Сервис відсутня команда Поиск решения, для її установки необхідно вибрати команду Сервис -> Надстройки. У списку надбудов виберіть Поиск решения і натисніть кнопку ОК.

Лінійна оптимизаційна задача. Постановка завдання про оптимальне виробництво фарб

Розглянемо наступне завдання планування виробництва. Фабрика випускає два типи фарб: для внутрішніх (I) і зовнішніх робіт (Е). Продукція обох видів надходить в оптовий продаж; для виробництва фарб використовуються два вихідних продукти – А и В. Максимально можливі добові запаси продуктів становлять 6 т й 8 т відповідно. Витрати продуктів А и В на 1 т відповідних фарб приводяться нижче:

Вивчення ринку збуту показало, що добовий попит на фарбу I ніколи не перевищує попиту на фарбу Е більш ніж на 1 т. Крім того, встановлене, що попит на фарбу I ніколи не перевищує 2 т у добу.

Оптові ціни однієї тонни фарб рівні: 3000 грн. для фарби Е и 2000 грн. для фарби I.

Яку кількість фарби кожного виду повинна виробляти фабрика, щоб прибуток від реалізації продукції був максимальним?

Для рішення цієї задачі необхідно спочатку побудувати математичну модель. Процес побудови моделі починається з відповіді на наступні три питання:

· Для визначення яких величин будується модель (тобто, що є змінними моделі)?

· У чому складається мета, для досягнення якої з множини всіх припустимих значень змінних вибираються оптимальні?

· Яким обмеженням повинні задовольняти невідомі?

У нашому випадку фабриці необхідно спланувати обсяг виробництва фарб так, щоб максимізувати прибуток. Тому змінними є:

· ХI - добовий обсяг виробництва фарби I;

· ХЕ - добовий обсяг виробництва фарби Е.

Сумарний добовий прибуток від виробництва ХI фарби I та ХЕ фарби Е дорівнює:

Z = 3000XE + 2000XI

Метою фабрики є визначення серед всіх припустимих значень ХЕ й ХI таких, які максимізують сумарний прибуток, тобто цільову функцію Z.

Перейдемо до обмежень, які накладають на ХЕ й ХI. Обсяг виробництва фарб не може бути негативним.

Отже, ХЕ, ХI ≥ 0.

Витрати вихідного продукту для виробництва обох видів фарб не може перевершувати максимально можливий запас даного вихідного продукту. Таким чином,

XE + 2XI ≤ 6

2XE + XI ≤ 8

Крім того, обмеження на розмір попиту на фарби мають вигляд:

XI - XE ≤ 1

XI ≤ 2

Звідси математична модель даної задачі має такий вигляд.

Максимізувати:

Z = 3000XE + 2000XI

при обмеженнях:

XE + 2XI ≤ 6

2XE + XI ≤ 8

XI - XE ≤ 1

XI ≤ 2

ХЕ, ХI ≥ 0

Дана модель є лінійною, тому що цільова функція і обмеження лінійно залежать від змінних.