Матричный метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Формулы Крамера. Метод Гаусса

Рассмотрим систему, составленную из трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными.

(2.1)

Решением (2.1)называется система из трех чисел, удовлетворяющая требованию: если в (2.1) вместо и подставить соответственно и , то получим три верных равенства (три тождества).

(2.2)

- основная матрица системы (2.1)

(2.3)

- расширенная матрица (2.1)

; ; (2.4)

система (2.1) может быть записана в матричном виде так:

AX=D (2.5)

X – неизвестная матрица-столбец. Введем вспомогательные определители:

Предполагая, что матрица A - невырожденная и умножая (2.5) слева и почленно на A^-1, получим

– (2.6) матричный способ решения системы.

Используя понятие равенства двух матриц, получим

(2.7)

(2.8)

(2.9)

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования:

1. Перестановка местами произвольных двух строк (столбцов).
2. Умножение строки (столбца) на отличное от нуля число.
3. Прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на одно и то же число.