Метод Ньютона (касательных)

Пусть уравнение f (x)=0 имеет один корень на отрезке [ a, b ], причем f' (x) и f'' (x) определены, непрерывны и сохраняют постоянные знаки на отрезке [ a, b ].

Рассмотрим геометрическую интерпретацию этого метода. Возьмем некоторую точку x ₀ отрезка [ a, b ] и проведем в точке P ₀{ x ₀, f (x ₀)} графика функции касательную к кривой y = f (x) до пересечения с осью Ox. Абсциссу x ₁ точки пересечения можно взять в качестве приближенного значения корня. Проведя касательную через новую точку P ₁{ x ₁, f (x ₁)} и находя точку ее пересечения с осью Ox, получим второе приближение корня x ₂. Аналогично определяются последующие приближения.

Выведем формулу для последовательных приближений к корню. Уравнение касательной, проходящей через точку P ₀имеет вид:

Полагая y =0, находим абсциссу x ₁точки пересечения касательной с осью Ох:

Следующие приближения находим по формулам: …, .

Процесс вычислений прекращается при выполнении условия где Если то можно пользоваться более простым соотношением:

Для сходимости метода начальное приближение x ₀ выбирают так, чтобы выполнялось условие f (x ₀) f'' (x ₀)>0. В противном случае сходимость метода не гарантируется.

Пример: Методом Ньютона найти корень уравнения sin(x) -x +0.15=0на отрезке [0.5,1] c точностью ε =0.0001.

Найдем f' (x)=cos(x)–1, f'' (x)=–sin(x). Расчетная формула имеет вид:

В качестве начального приближения возьмем x ₀=1, т.к. f (1) f'' (1)>0.

Вычислим m ₁ и M₂: m ₁ =| cos(0.5)-1 | =0.12, M ₂= |- sin(1)|=0.84, значит

и для проверки точности вычислений воспользуемся соотношением:

Замечание: На каждом этапе необходимо помнить лишь два соседних приближения, поэтому приближение x_n обозначим через x, а приближение x_{n +1}через y.

Program Kasat; {метод касательных }

Uses Crt;

Const

eps=0.0001;

Var

x,y,delta:Real;

n:Integer;

Function F(z:Real):Real;

Begin

F:=sin(z)-z+0.15;

End;

Function F1(z:Real):Real;

Begin

F1:=(cos(z)-1.0);

End;

Begin

Clrscr;

Write ('Введите начальное приближение x=');

ReadLn (x);

eps:=0.1*sqrt(eps);

n:=0;

Repeat

y:=x-F(x)/F1(x);

delta:=abs(y-x);

n:=n+1;

x:=y;

Until delta<eps;

WriteLn('Корень уравнения x=',x:8:4);

WriteLn('Проверка f(',x:8:4,')=',F(x):8:5);

WriteLn('Количество приближений n=',n);

Repeat Until KeyPressed;;

End.

Метод хорд

Пусть корень уравнения f (x)=0 лежит на отрезке [ a, b ]. Для определенности положим f (a)<0, f (b)>0.

Разделим отрезок [ a, b ] в отношении –f (a) :f (b). Это дает приближенное значение корня

Далее применим этот прием к тому из отрезков [ a, x ₁] и [ x ₁, b ] на концах которого функция f (x) имеет противоположные знаки, получим второе приближение корня x ₂ и т.д.

Геометрически способ пропорциональных частей эквивалентен замене кривой y = f (x) хордой, проходящей через точки N { a, f (a)} и M { b, f (b)}.

Если конец b отрезка [ a, b ] неподвижен, то x ₀= a и

;

если конец а отрезка [ a, b ] неподвижен, то x ₀= b и

Процесс нахождения последовательных приближений продолжается до тех пор, пока не выполнится условие |x_n–x_{n -1} |£e. Для сходимости метода в качестве начального приближения нужно выбирать тот из концов отрезка, для которого выполняется условие f (x) f'' (x)<0. Неподвижен тот конец отрезка, для которого f (x) f'' (x)>0.

Геометрическая интерпретация метода хорд

Пример: Методом хорд найти корень уравнения x ³–0.2 x ²–0.2 x– 1.2=0 расположенный на отрезке [1,2]c точностью ε =0.001.

Определим неподвижный конец f' (x)=3 x ²–0.4 x– 0.2, f'' (x)=6 x –0.4, f (2) f'' (2)>0значит неподвижной будет точка x =2, в качестве начального приближения возьмем x =1.

Замечание: На каждом этапе необходимо помнить лишь два соседних приближения, поэтому приближение x_n обозначим через x, а приближение x_{n +1}через y.

Program Xord; {метод хорд}

Const eps=0.001;

Var

x,y,delta:Real;

n:Integer;

Function F(z:Real):Real;

Begin

F:=z*z*z+0.2*z*z-0.2*z-1.2;

End;

Begin

Write ('Введите начальное приближение x=');

ReadLn (x);

n:=0;

Repeat

y:=x-F(x)/(F(b)-F(x))*(b-x);

delta:=abs(y-x);

n:=n+1;

x:=y;

Until delta<eps;

WriteLn('Корень уравнения x=',x:8:4);

WriteLn('Проверка f(',x:8:4,')=',F(x):8:5);

WriteLn('Количество приближений n=',n);

End.