Некоторые правила действий над приближенными числами. Поскольку любой результат измерения является приближенным числом, то всегда важно знать на какую величину оно отличается от действительного

Поскольку любой результат измерения является приближенным числом, то всегда важно знать на какую величину оно отличается от действительного. Чем ближе результат измерения к действительному, тем выше точность, и наоборот.

Для оценки погрешности приближенных чисел используют предельную погрешность ∆_пр. Под предельной абсолютной погрешностью понимают всякое положительное число, не превышающее половины единицы последнего знака. Так, наибольшее значение абсолютной погрешности округления составляет 0,5 единицы последнего знака округленного числа.

В результатах измерений в качестве предельной абсолютной погрешности можно принимать точность отсчетной шкалы прибора, если не выполнялись специальные исследования по ее определению. В геодезических измерениях абсолютную погрешность широко применяют при оценке точности угловых измерений.

Для характеристики точности линейных измерений применяют, в основном, относительную погрешность ε = │∆/ l │, где -Δ погрешность измерения, а l- результат измерения. При этом относительную погрешность выражают аликвотной дробью (дробь, у которой числитель всегда единица)

ε = 1/(l /∆).

Чем меньше относительная погрешность, тем с большей точностью получен результат. В других дисциплинах относительную погрешность записывают в процентах или промилях.

Поскольку все результаты измерений являются приближенными числами, то и все последующие арифметические действия с ними должны выполняться как с приближенными числами. В этом случае в основе анализа лежит понятие - количество верных значащих цифр.

Значащую цифру называют верной, если модуль погрешности её не превышает половины единицы разряда этой цифры. Например, при определении цены деления планиметра получили с=0,09567883. Как правильно записать окончательный результат? Здесь необходимо руководствоваться правилом: ответ должен содержать столько значащих цифр, сколько их содержится в отсчетах по измерительной каретке, т. е. четыре значащих цифры. С учетом того, что нули, служащие только для обозначения десятичных разрядов, не являются значащими цифрами, правильная запись ответа будет с=0,09568 или 9,568*10^-2.

Приведем некоторые правила арифметических действий с приближенными числами.

При нахождении алгебраической суммы, когда слагаемые имеют разное количество десятичных знаков, необходимо придерживаться следующего порядка действий:

· выбрать компонент (слагаемое, уменьшаемое или вычитаемое) с наименьшим количеством десятичных знаков;

· все остальные компоненты округлить, оставив в них на один десятичный знак больше, чем их имеется в компоненте с наименьшим количеством десятичных знаков;

· выполнить арифметические операции (сложение и вычитание);

· полученный результат округлить, оставив в нем столько десятичных знаков, сколько их имеется в компоненте с наименьшим количеством десятичных знаков.

Пример. Определить длину линии, которая была разбита на отдельные отрезки, каждый из которых был измерен прибором со своей точностью. Так

d ₁ = 10,4 м, d₂ =0,485 м, d₃ =104 м. Искомая длина линии равна d =115 м.

При умножении, делении, возведении в степень, извлечении корня необходимо следовать следующим правилам:

· осмотреть все числа, входящие в данное выражение, и выбрать компонент с наименьшим количеством значащих цифр;

· все остальные компоненты округлить, оставив в них на одну значащую цифру больше, чем их имеется в компоненте с наименьшим количеством значащих цифр;

· произвести требуемые вычисления;

· полученный результат округлить до стольких значащих цифр, сколько их имеется в грубейшем компоненте.

Пример. Для определения массы стеновой панели были измерены ее длина а = 6003 мм.; ширина b = 2997 мм.; высота h = 302 мм. и плотность бетона q = 1,5 т/м³. Тогда Р = а b h q = 8.1499188т. Как правильно записать результат вычисления? Так как наименьшее число значащих цифр содержится в компоненте плотности бетона (две цифры), то ответ будет содержать также только две значащие цифры, то есть Р = 8.1 т.

Правило округления. В приближенных вычислениях в результате оставляют только значащие цифры. Если отбрасываемая цифра является 5, то последняя оставшаяся цифра должна быть четной. Например, требуется округлить до метров два результата измерения s ₁ = 34,5 м и s ₂=33,5 м. Получим s ₁= 34 м и s ₂ =34м.