Комплексные числа и действия над ними

Приложение 1

При решении алгебраических уравнений степени два и выше иногда приходится рассматривать конструкции вида , где и – некоторые действительные числа. Например, подставляя формально конструкцию в не имеющее действительных корней уравнение , получаем . Действуя в полученном выражении с конструкцией как с двучленом по правилам алгебры, известным из школы, раскрывая скобки и приводя подобные, имеем

.

Таким образом, конструкцию можно считать корнем новой природы (не действительным) уравнения .

Пусть – некоторый формальный символ, и – действительные (вещественные) числа. Конструкции вида назовём комплексными числами, действительной, а мнимой частями комплексного числа и будем обозначать их соответственно Два комплексных числа будем считать равными, если совпадают их действительные и мнимые части. На множестве комплексных чисел введём операции сложения и умножения по формулам:

; .

Обратные операции определяются однозначно и задаются формулами:

;

.

Каждому комплексному числу сопоставим точку плоскости . Этим устанавливается взаимно однозначное соответствие между комплексными числами и точками плоскости. Операция сложения комплексных чисел совпадает с операцией сложения радиус-векторов точек . Для операции умножения комплексных чисел не находится соответствующей операции над векторами.

Если действительные числа отождествить с комплексными числами вида , то эти операции совпадают с обычными операциями над действительными числами и поэтому комплексные числа являются расширением множества действительных чисел. Из введённых выше операций над комплексными числами следует, что для комплексного числа получаем

Модулем комплексного числа назовём длину радиус-вектора точки , то есть число . Тогда

.

Числа и являются соответственно косинусом и синусом угла между радиус-вектором точки и осью . Поэтому можем записать . Эта форма записи числа называется тригонометрической формой комплексного числа. Угол при этом называется аргументом числа . Совершенно ясно, что числа, аргументы которых отличаются на , совпадают. Среди всех значений аргумента числа выбирают значение, называемое главным, и обозначают его . Наиболее удобным является выбор главного значения аргумента из промежутков , , . В пакете Mathcad главное значение аргумента выбирается из промежутка . При выборе главного значения аргумента из промежутка его находят по формулам

Формулы для нахождения главного значения аргумента при выборе его из других промежутков предлагается написать самостоятельно. Все значения аргумента обозначают . Отметим, что

Полагая , можем записать . Эта форма записи числа называется показательной формой записи комплексного числа. Так как , то, складывая и вычитая с , получаем формулы Эйлера:

Далее,

.

Поэтому

.

Таким образом, мы получили, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Аналогично при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Как следствие этих результатов, получаем формулы Муавра:

;

Пример 1. Найти

Решение. Так как то, используя вышеприведённую формулу, имеем , . Придавая последовательно значения 0,1,2, получаем три значения корня кубического из единицы

Пример 2. Найти .

Решение. Так как , , то Придавая последовательно значения 0,1, получаем два значения :

; .

Заметим, что квадратные корни из комплексных чисел отличаются только знаками.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Выделяя в левой части полный квадрат, получаем . Следовательно, . Извлекая квадратный корень из числа , имеем . Поэтому или . Подставляя любое из этих комплексных чисел в исходное уравнение, убеждаемся в том, что они являются его решением.

Заметим, что комплексные решения квадратных уравнений могут быть получены по той же формуле, что и действительные, но при отрицательном дискриминанте.