Неравенство Чебышева

Неравенство Чебышева справедливо как для дискретной, так и для непрерывной случайной величины.

Оценим вероятность того, что случайная величина примет значения, достаточно близкие к своему математическому ожиданию. П.Л.Чебышев доказал неравенство, позволяющее дать интересующую оценку.

Неравенство Чебышева. Для произвольной случайной величины ξ с математическим ожиданием а=M_ξ и дисперсией σ²=D_ξ для любого сколь угодно малого числа ε>0 выполняется неравенство: P .

То есть вероятность того, что отклонение случайной величины ξ от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа ε, не меньше, чем .

Пример. Длина изготовляемых изделий - случайная величина. Ее математическое ожидание равно 90 см., дисперсия – 0,0225 см². Оценить вероятность того, что:

а) отклонение длины изготовленного изделия от ее среднего значения по абсолютной величине не превзойдет 0,4 см.:

б) длина изделия будет заключена между 89,7 и 90,3 см.

Решение. Пусть случайная величина ξ – длина изготовляемых изделий. Тогда M_ξ=90 см., D_ξ=0,0225 см².

а) вероятность P найдем с помощью неравенства Чебышева. P .

P :

б) для нахождения P(89,7<ξ<90,3) воспользуемся неравенством Чебышева. Выделим величину : P P .