Метод Монте-Карло

Это фактически метод статистических испытаний[1]. Свое экзотическое название он получил от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своими игорными домами. Дело в том, что метод требует применения случайных чисел, а одним из простейших приборов, генерирующих случайные числа, может служить рулетка. Впрочем, можно получить случайные числа и при помощи …дождя.

Для опыта приготовим кусок картона, нарисуем на нем квадрат и впишем в квадрат четверть круга. Если такой чертеж некоторое время подержать под дождем, то на его поверхности останутся следы капель. Подсчитаем число следов внутри квадрата и внутри четверти круга. Очевидно, что их отношение будет приближенно равно отношению площадей этих фигур, так как попадание капель в различные места чертежа равновероятно. Пусть Nкр – число капель в круге, Nкв – число капель в квадрате, тогда

Рис. 9

Дождь можно заменить таблицей случайных чисел, которая составляется с помощью компьютера по специальной программе. Каждому следу капли поставим в соответствие два случайных числа, характеризующих его положение вдоль осей Ох и Оу. Случайные числа можно выбрать из таблицы в любом порядке, например, подряд. Пусть первое четырехзначное число в таблице 3265. Из него можно приготовить пару чисел, каждое из которых больше нуля и меньше единицы: х=0,32, у=0,65. Эти числа будем считать координатами капли, т. е. капля как будто попала в точку (0,32; 0,65). Аналогично поступаем и со всеми выбранными случайными числами. Если окажется, что для точки (х; у) выполняется неравенство, то, значит, она лежит вне круга. Если х + у = 1, то точка лежит внутри круга.

Для подсчета значения снова воспользуемся формулой (1). Ошибка вычислений по этому методу, как правило, пропорциональна, где D – некоторая постоянная, а N –число испытаний. В нашем случае N = Nкв. Из этой формулы видно: для того чтобы уменьшить ошибку в 10 раз (иначе говоря, чтобы получить в ответе еще один верный десятичный знак), нужно увеличить N, т. е. объем работы, в 100 раз. Ясно, что применение метода Монте-Карло стало возможным только благодаря компьютерам. Программа 2 реализует на компьютере описанный метод.

Программа 2

REM "Вычисление пи"

REM "Метод Монте-Карло "

INPUT "Введите число капель ", n

m = 0

FOR i = 1 TO n

t = INT(RND(1) * 10000)

x = INT(t \ 100)

y = t - x * 100

IF x ^ 2 + y ^ 2 < 10000 THEN m = m + 1

NEXT i

p = 4 * m / n

PRINT "значение пи равно"; p

END

Программа была набрана и запущена при различных значениях параметра n. Полученные значения числа записаны в таблице:

Метод “падающей иголки”

Возьмем обыкновенную швейную иголку и лист бумаги[1]. На листе проведем несколько параллельных прямых так, чтобы расстояния между ними были равны и превышали длину иголки. Чертеж должен быть достаточно большим, чтобы случайно брошенная игла не упала за его пределами. Введем обозначения: а- расстояние между прямыми, l – длина иглы.

Метод падающей иголки

Положение случайным образом брошенной на чертеж иглы определяется расстоянием Х от ее середины до ближайшей прямой и углом j, которой игла образует с перпендикуляром, опущенным из середины иглы на ближайшую прямую. Ясно, что

Угол падения иглы

На рис. 12 изобразим графически функцию y=0,5 cosx. Всевозможные расположения иглы характеризуются точками с координатами (x; у), расположенными на участке ABCD. Закрашенный участок AED – это точки, которые соответствуют случаю пересечения иглы с прямой. Вероятность события a – “игла пересекла прямую” – вычисляется по формуле:

Вероятность p(a) можно приблизительно определить многократным бросанием иглы. Пусть иглу бросали на чертеж c раз и p раз она упала, пересекая одну из прямых, тогда при достаточно большом c имеем p(a) = p / c. Отсюда = 2 l с / a k.

Замечание. Изложенный метод представляет собой вариацию метода статистических испытаний. Он интересен с дидактической точки зрения, так как помогает совместить простой опыт с составлением довольно сложной математической модели.

Все результаты вычисления числа Пи мы свели в итоговую таблицу, которая позволила нам сравнить точность вычисления числа различными методами:

Выводы:

1. В ходе работы была изучена история возникновения числа пи, число пи в культуре человека и в окружающем мире.

2. Для вычисления числа Пи были использованы четыре основных метода приближения. Наиболее точные результаты показал метод Монте-Карло.

3. В дальнейшем можно ознакомиться с другими иррациональными и трансцендентными числами: e и j.