Решение систем линейных уравнений по Жордану

Как и при решении по Гауссу приведем расширенную матрицу системы (4.1) с помощью ЭП к ступенчатому виду (4.2). После удаления последних нулевых строк матрица примет вид:

.

Далее снизу вверх, начиная с r- й строки, проделаем над этой матрицей (соответственно, над СЛУ) следующую процедуру. Сделаем над этой матрицей ЭП-III – умножим r- ю строку на . Тогда r- я строка матрицы примет вид:

. С помощью ЭП-I, вычитая r -ю строку с соответствующими коэффициентами из выше расположенных строк, сделаем над 1 в r -й строке все элементы k_r -го столбца нулевыми. Затем переходим к (r - 1)- й строке. С помощью ЭП-III сделаем 1 в начале строки на месте с номером (r – 1, k_r-1), и с помощью ЭП-I сделаем нули везде выше над этой единицей в k_r-1 –м столбце. Затем переходим к (r - 2)- й строке и т.д. После этой процедуры наша матрица примет вид .

Теперь в соответствующей СЛУ оставим главные неизвестные слева, а все остальные слагаемые перенесем в правые части уравнений. Получим, как и при решении по Гауссу, выражения главных неизвестных через свободные. В отличие от метода Гаусса, когда с помощью матрицы (4.2) мы выражали главные неизвестные через свободные, на каждом шаге подставляя в формулу выражения ранее найденных главных неизвестных, при методе Жордана все необходимые вычисления проводятся над матрицей, а в конце мы получаем готовые формулы выражений главных неизвестных через свободные.

Лекция 7.