Поверхня відгуку і рівняння регресії

Кожен процес у системі може бути охарактеризований деякою залежністю парамет­ра оптимізації від факторів (х₁, х₂, х₃... х_n), що діють у системі. Тому вивчення будь-якої системи можна представити як дослідження функції багатьох змінних, тобто відшукання за­лежності виду

(1.1)

Це рівняння називають функцією відгуку Воно описує деяку гіперповерхню в «n+1» - мірному простої (її - число факторів). Отже, вивчення багатофакторної системи можна уявити як дослідження форми цієї поверхні, що зветься поверхнею відгуку. Простір, у якому будується поверхня відгуку, називають факторним простором.

Якщо проводитьсяоднофакторний експеримент у = f(х₁),то поверхня відгуку стиску­ється в лінію на площині (рис. 1.2). Умовою оптимального ведення такого процесу буде рів­ність

х₁ = х_1опт.

Рис. 1.2 Залежність виходу процесу від одного фактора в=t (х₁)

Рис. 1.3 Поверхня відгуку.

При двофакторном експерименті у = f(ч, ч₂) поверхня відгуку буде розташовувати­ся у тривимірному факторному просторі (Рис. 1.3). У цьому випадку кожній точці на пло­щині х₁0х₂ буде відповідати визначена точка на поверхні відгуку.

Рис. 1.4. Проекція перетину поверхні відгуку на площину х₁0х₂

Якщо зробити перетин поверхні відгуку площинами, рівнобіжними площини х₁0х₂, і отримані в перетинах лінії (у₁ = соnst, у₂= соnst і т.д.) спроектувати на площину х_І0х₂, то поверхня відгуку для двофакторного процесу буде зображена на площині (рис. 1.4) анало­гічно горизонталям на топографічних картах. Кожна лінія відповідає визначеному зна­ченню параметра оптимізації в і називається лінією рівного відгуку. Точка М на рис. 1.4 є оптимальною точкою, яку ми шукаємо.

Оскільки ширий вид функції у = f(х₁, х₂,х₃...х_n) невідомий, для опису поверхні відгуку використовують рівняння, що представляє собою розкладання цієї функції в степінний ряд:

(1.2)

де х_і, х_j - перемінні фактори при і = 1:n; j= 1:n; і = j;

В₀, В_і, В _j - коефіцієнти регресії при відповідних перемінних, значення яких визначають форму поверхні відгуку,

Таке рівняння, називають рівнянням регресії. В цьому рівнянні члени другого сту­пеня - добутку х_і, х_j; і квадратичні члени характеризують кривизну поверхні.

Чим більше кривизна поверхні, тим більше в рівнянні регресії членів вищих ступе­нів, а отже, і коефіцієнтів регресії, які необхідно визначити,

Це приводить до різкого збільшення числа досвідів, тому на практиці прагнуть обмежитися лінійною моделлю (алгебраїчним поліномом першої ступені). Для цього експерименти варто проводити у вузькій області поверхні відгуку, щоб досліджуваний процес можна було зобразити площиною.

При цьому рівняння регресії буде мати вигляд

(1.3)

Оскільки площина являє собою поверхню першого порядку, те всі коефіцієнти регресії при перемінних - (у ступені вище першої) - звертаються в нуль.

Якщо необхідно розширити область дослідження процесу (коли не мож­на обмежитися лінійним наближенням), то необхідно враховувати члени другої степені

(1.4)

Рівняння репресії процесу, вихід якого залежить від двох факторів, буде мати ви­гляд

(1.5)

де β₀ - вільний член рівняння,

β₁₂х₁х₂ - члени другого порядку, що характеризують ефекти парних між факторних взаємодій.

β₁₁х²₁, β₂₂х²₂ - член другого порядку - квадратичні члени і т.д.

Додатки.

Значення критерію Стьюдента t(а, f) при різних рівнях значимості