Примечание. При выборе обозначений для множеств допускается некоторый произвол, который не всегда понятен лицам

При выборе обозначений для множеств допускается некоторый произвол, который не всегда понятен лицам, далеким от математики. Однако здесь уместна аналогия с выбором имен для переменных и процедур в языках высокого уровня, когда программист сам решает, как ему обозначать соответствующую конструкцию в программе.

Последнее, на что следовало бы обратить внимание при столь кратком знакомстве с основами теории множеств – это на так называемые понятия мощности множества и отношения множеств. Хотя существуют и другие операции над множествами, а также целый ряд дополнительных понятий, их рассмотрение выходит за рамки настоящей книги. Что касается понятия мощности множества, то данный термин важен для анализа кратности связей, поскольку ассоциируется с количеством элементов отдельного множества. В случае конечного множества ситуация очень простая, поскольку мощность конечного множества равна количеству элементов этого множества. Таким образом, возвращаясь к примеру с множеством А квартир жилого дома, можно сказать, что его мощность равна 100.

Ситуация усложняется, когда рассматриваются бесконечные множества, т. е. множества, не являющиеся конечными. Не вдаваясь в технические детали, которые послужили источником драматичного по своим последствиям кризиса основ математики, ограничим наше рассмотрение бесконечными множествами счетной мощности. Такими множествами принято считать множества, содержащие бесконечное число элементов, которые, однако, можно перенумеровать натуральными числами 1, 2, 3 и т. д. При этом важно иметь в виду, что достичь последнего элемента при такой нумерации принципиально невозможно, иначе множество окажется конечным. Например, есть все основания считать множество всех звезд бесконечным, хотя многие из них имеют свое уникальное название. С другой стороны, множество всех возможных комбинаций из 8 символов, которые могут служить для ввода некоторого пароля, конечное, хотя и достаточно большое. Или, говоря строгим языком, это множество имеет конечную мощность.