ЗАДАЧА № 1

Студент 4 курса Преподаватель

Мыльников Е. А. А.В.

Шифр: 0813 - п/АТС-1034

МОСКВА 20012 г.

ЗАДАЧА № 1

По стальному проводу (электрическая проводимость = 10⁷(Ом м)^-1; относительная магнитная проницаемость =10³ ) диаметром 2 =6,04 мм течет синусоидальный ток =100А частотой Гц

Определить плотность тока на поверхности и на оси провода.

Вариант численного значения частоты тока определяется по формуле:

= 1,38866 п² Гц,

где п - последняя цифра шифра студента (цифра О соответствует п = 10).

Привести вывод формул для определения плотности тока и напряженности в любой точке сечения провода, не учитывая влияния обратного провода на поле в прямом проводе. При решении задачи использовать цилиндрическую систему координат.

Решение задачи следует начать с обязательной проверки соотношения между током проводимости и током смещения в данном проводнике, что является важным обоснованием для всех последующих рассуждений.

Решение:

1. Приведем вывод формул для определения плотности тока и напряженности в любой точке сечения провода, не учитывая влияния обратного провода на поле в прямом проводе.

Для этого рассмотрим особенности распространения электромагнитной волны в проводящей среде с проводимостью и магнитной проницаемостью _а. Первое и второе уравнения Максвелла, записанные в комплексной форме для синусоидально изменяющихся во времени и имеют вид:

1) = +

2) = -

Так как в проводящей среде даже при очень высоких частотах произведение намного меньше проводимости . Следовательно, произведением в первом уравнении Максвелла для проводящих сред можно пренеб­речь.

Вектор плотности тока , записанный в комплексной форме для синусоидально изменяющихся во времени и тока I, удобно направить в положительном направлении оси Z, поэтому =Z₀ .

Таким образом первое и второе уравнения Максвелла для проводящей среды приобретают вид:

1) = =

2) = -

Умножив второе уравнение Максвелла на проводимость , получим:

= -

Возьмем ротор от последнего уравнения:

= grad div - =- ,

или, считая процесс течения тока установившимся, т.е. div = 0, и подставляя =Z₀ , перейдем к скалярному уравнению:

=

Данное уравнение решим в цилиндрической системе ко­ординат. Учитывая, что в данной си­стеме координат вид оператора = div grad, а также то, что от и от z не зависит (из соображений симметрии), получим:

или .

Введем обозначение q² = - ,тогда уравнение примет вид:

или

Последнее уравнение является частным случаем уравне­ния Бесселя относительно аргумента х = qr и функции у = . Его решение имеет вид:

= AJ₀ (qr) + BN₀ (qr),

где А и В - постоянные интегрирования;

J₀ (qr) - функция Бесселя нулевого порядка первого рода;

N₀ (qr) - функция Бесселя нулевого порядка второго рода.

Функция Бесселя нулевого порядка второго рода обращается в бесконечность на оси провода, т.е. при r = 0. Но так как плотность тока должна быть всюду конечна, в том числе и на оси провода, то примем В = 0. Следовательно, решение имеет вид:

= AJ₀ (qr)

Используя второе уравнение Максвелла, определим на­пряженность магнитного поля:

Отсюда

,

где J₁ (qr) - функция Бесселя первого рода первого порядка.

Определим постоянную интегрирования А, для чего полученное выражение для Н, взятое на поверхности провода (при r = а) приравняем к известному выражению для Н из закона полного тока:

,

откуда

Подставим найденное значение А в полученные выше выражения для и Н:

=

Н=

С помощью этих формул можно определить комплекс плотности тока и комплекс напряженности поля Н в лю­бой точке сечения провода. Радиус r может принимать зна­чения от 0 до а. Для точек на оси провода r = 0; для точек на поверхности провода r = а.

Так как Jo (0) = 1, то плотность тока на оси провода:

₀=

Подставим данное выражение в формулу решения: = ₀ J₀ (qr). Тогда плотность тока на поверхности провода: _a= ₀ J₀ (qa). Очевидно, что произведение (qr) есть комплексное число:

qr = r

Бесселевы функции от комплексного аргумента также являются комплексными и могут быть представлены в по­казательной форме:

J₀ (qr) =

J₁ (qr) = ,

где модуль;

аргумент функции J₀ (qr);

модуль;

аргумент функции J₁ (qr), которые определяются по значению r с помощью таблицы 1.

Таблица 1

Таблица модулей и аргументов функций J₀ (qr) и J₁ (qr)

r		, rpад.		, rpaд.
О		О	О	- 45,00
	1,015	14,22	0,501	- 37,84
	1,229	52,28	1,041	- 16,73
	1,95	96,52	1,80	15,71
	3,439	138,19	3,173	53,90
	6,231	178,93	5,812	93,55
	11,501	219,62	10,850	133,45
	21,548	260,29	20,50	173,51
	40,82	300,92	39,07	213,69
	77,96	341,52	74,97	253,95
	149,8	382,10	144,58	294,27

В данной таблице учтено наличие множителя в составе аргумента (qr).

2. Проверим соотношение между током проводимости в стале и током смещения в данном проводнике.

Пусть: = 10; = 100 рад / с. Тогда отношение:

,

где электрическая постоянная = 8,86. 10^-12 Ф/м.

Из данного соотношения можно сделать вывод, что увеличение частоты даже на несколько порядков не существенно повлияет на изменение соотношения между током проводимости в стали и током смещения в данном проводнике. Следовательно, ток проводимости в проводни­ке во много раз больше тока смещения.

3. Определим частоту переменного тока f.

f= Гц.

4. Рассчитаем параметр

так как , то = ,

где ; Гн/м

Следовательно, =

= м ^–1

5. Определим комплексную величину q

q= 1323,844 =1323,844

6. Выражение a =

7. По таблице 1 найдем:

J₀ (qa) = J₀ (3,998 )= ; b₀ = 3,439; .

J₁ (qa) = J₁ (3,998 )= ; b₁ = 3,173; .

J₀ (0) = 1 ; b₀ = 1; .

J₁ (0) = 0 ; b₁ = 0; .

8. Определим плотность тока на оси провода:

₀= А/м².

9. Определим плотность тока на поверхности провода:

А/м².