Системы координат в пространстве. Понятие об уравнении линии и поверхности в пространстве

П. 1. Декартовая система координат (ДСК)

Декартовая система координат (ДСК) в пространстве определяется заданием трех взаимно перпендикулярных лучей – осей (Ох), (Оy) и (Oz), одинаковой по осям единицы масштаба и начала координат – точки О – точки пересечения осей.

Каждая точка М в пространстве имеет координаты х, у, z и, наоборот, каждому набору координат отвечает точка.

Определение. Уравнение F (x, y, z) = 0 определяет в пространстве (хуz) некоторую поверхность σ, представляющую собой геометрическую совокупность точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению. И наоборот.

Пример поверхностей: x + y + z = 2 – уравнение плоскости, – уравнение сферы.

Определение. Порядком поверхности называется наивысшая степень переменной, входящей в уравнение.

Поверхность первого порядка – плоскость.

Определение. Линия в пространстве (хуz) – геометрическое место точек, полученных в результате пересечения двух поверхностей или это траектория движущейся точки , где t – параметр.

Таким образом, линия и поверхность задаются уравнениями между координатами, и обратно.

П. 2. Цилиндрическая система координат (ЦСК)

Цилиндрические координаты – это полярные координаты на плоскости (ρ и φ) точки М ⁰ – проекции точки М на плоскость (Оху), и аппликата z самой точки М (совместим системы координат так, чтобы ось (Ох) совпадала с полярной осью (ОР), а начало координат совпадало с полюсом).

Положение любой точки М в ЦСК характеризуется координатами ρ, φ, z и, наоборот, каждому набору координат отвечает точка.

Точка M (ρ, φ, z),

где ρ – полярный радиус – расстояние от полюса О до точки М⁰, т.е. ρ = | ОM ⁰|, причем ρ ≥ 0,

φ – полярный угол – угол, откладываемый от оси (Ох) против часовой стрелки до луча (ОМ⁰), причем 0 ≤ φ ≤ 2π,

z = | MM ⁰|, причем .

Связь декартовых координат с цилиндрическими.

Декартовые координаты точки М – х, у, z. Цилиндрические координаты этой же точки – ρ, φ, z. Тогда

Цилиндрические координаты применяются при рассмотрении тел вращения (круговые цилиндры, конусы и т.п.), причем ось (Оz) располагается по оси вращения.

П. 3. Сферическая система координат (ССК)

Положение любой точки М в ССК характеризуется координатами r, φ, и, наоборот, каждому набору координат отвечает точка.

Точка M (r, φ, ),

где z –расстояние от начала координат О до точки М, т.е. r = | ОM |, причем r ≥ 0,

φ – угол, откладываемый от оси (Ох) против часовой стрелки до луча (ОМ⁰), где М ⁰ – проекции точки М на плоскость (Оху), причем 0 ≤ φ ≤ 2π,

– угол, откладываемый от оси (Оz) по часовой стрелке до луча (ОМ), причем 0 ≤ ≤ π.

Связь декартовых координат со сферическими.

Декартовые координаты точки М – х, у, z. Сферические координаты этой же точки – r, φ, . Тогда

Сферические координаты применяются при рассмотрении тел, ограниченных сферами.

Пример 1. Найти цилиндрическое уравнение поверхности х ² + у ² – z ² =1 (однополостный гиперболоид).

Решение. Известно, что . Подставим в уравнение поверхности:

х ² + у ² – z ² =1 – искомое уравнение.

Пример 2. Найти сферическое уравнение сферы х ² + у ² + z ² = R ².

Решение. Подставим в уравнение вместо x, y, z их сферические аналоги:

– сферическое уравнение сферы.