Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Прямая в пространствеПрямую в пространстве невозможно задать одним уравнением. Для этого требуется система двух или более уравнений. Первая возможность составить уравнения прямой в пространстве – представить эту прямую как пересечение двух непараллельных плоскостей, заданных уравнениями A1x+B1y+C1z+D1= 0 и A2x+B2y+C2z+D2 =0, где коэффициенты A1,B1,C1 и A2,B2,C2 не пропорциональны: A1x+B1y+C1z+D1 =0 (7) A2x+B2y+C2z+D2 =0. Однако при решении многих задач удобнее пользоваться другими уравнениями прямой, содержащими в явной форме некоторые ее геометрические характеристики. Составим уравнения прямой, проходящей через точку М0(x0,y0,z0) параллельно вектору a ={l,m,n}. Определение. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется ее направляющим вектором. Для любой точки М(x,y,z), лежащей на данной прямой, вектор М0М = { x - x0,y - y0,z - z0) коллинеарен направляющему вектору а. Поэтому имеют место равенства: (8) называемые каноническими уравнениями прямой в пространстве. В частности, если требуется получить уравнения прямой, проходящей через две точки: М1(х1, у1, z1) и M2(x2, y2, z2), направляющим вектором такой прямой можно считать вектор М1М 2 = { x2 – x1, y2 - y1, z2 - z1 }, и уравнения (8) принимают вид: (9) - уравнения прямой, проходящей через две данные точки. Если же принять каждую из равных дробей в уравнениях (8) за некоторый параметр t, можно получить так называемые параметрические уравнения прямой: (10) Для того, чтобы перейти от уравнений (7) к каноническим или параметрическим уравнениям прямой, требуется найти направляющий вектор этой прямой и координаты любой точки, принадлежащей ей. Направляющий вектор прямой ортогонален нормалям к обеим плоскостям, следовательно, он коллинеарен их векторному произведению. Поэтому в качестве направляющего вектора можно выбрать [ n1n2 ] или любой вектор с пропорциональными координатами. Чтобы найти точку, лежащую на данной прямой, можно задать одну ее координату произвольно, а две остальные найти из уравнений (8.10), выбрав их так, чтобы определитель из их коэффициентов не равнялся нулю.
Пример. Составим канонические уравнения прямой . Решение: Найдем [ n1n2 ]. n 1 = {2,1,-3}, n 2 = {1,-5,4}. Тогда [ n1n 2 ] = {-11,-11,-11}. Следовательно, направляющим вектором прямой можно считать вектор {1,1,1}. Будем искать точку на прямой с координатой z0=0. Для координат х 0 и у0 получим систему уравнений , откуда х 0=2, у 0=1. Теперь можно составить канонические уравнения прямой: . Параметрические уравнения той же прямой имеют вид: . Замечание. Если какая-либо из координат направляющего вектора равна 0, то предполагается, что для любой точки прямой числитель соответствующей дроби в канонических уравнениях тоже равен 0.
Пример. Преобразовать прямую линию заданной в общем виде, к канонической и параметрической форме. Решение: Для этого необходимо найти какую – нибудь точку, через которую проходит прямая линия (опорную точку). Пусть эта точка имеет координату (х, у, 0). Координаты этой точки должны удовлетворять уравнению прямой, и система примет вид Эта система имеет решение . Итак, опорная точка имеет координаты . Найдём направляющий вектор прямой как векторное произведение нормальных векторов плоскостей: . Каноническое уравнение прямой имеет вид . Если обозначить общее значение этих дробей величиной t, , то рассматривая каждое равенство в отдельности , , , получим уравнение прямой линии в параметрической форме
Пример. Найти каноническое уравнение, если прямая задана в виде:
Решение: Для нахождения произвольной точки прямой, примем ее координату х = 0, а затем подставим это значение в заданную систему уравнений. , т.е. А(0, 2, 1). Находим компоненты направляющего вектора прямой.
Тогда канонические уравнения прямой: Пример. Привести к каноническому виду уравнение прямой, заданное в виде:
Решение: Для нахождения произвольной точки прямой, являющейся линией пересечения указанных выше плоскостей, примем z = 0. Тогда: ; 2x – 9x – 7 = 0; x = -1; y = 3; Получаем: A(-1; 3; 0). Направляющий вектор прямой: . Итого:
|