Пространства носителей

` В линейной алгебре рассматриваются отображения конечномерных векторных пространств. Но во многих случаях, например при решении дифференциальных или интегральных уравнений, возникают отображения бесконечномерных векторных пространств, элементы которых представляются уже не конечными линейными комбинациями, а рядами. Поэтому центральное понятие в бесконечномерном случае сходимость последовательности элементов пространства. Чтобы его ввести, нужно каким-то образом наделить пространство способом измерения расстояния между точками, а сами точки числовыми характеристиками. В конечномерных пространствах из фундаментальности последовательности следует сходимость и наоборот критерий полноты. В бесконечномерных пространствах из фундаментальности последовательности сходимость может не следовать. Поэтому полнота это ключевой атрибут пространства.

Пространство в математике это контекстно определяемое понятие.

Определение. В под пространством в функциональном анализе понимают пару , где носитель пространства, некоторое множество, которое может быть как наделено определённой (линейной) структурой, так и нет, а заданный на элементах носителя функционал, позволяющий ввести понятие сходимости последовательности элементов пространства. На носителях , не наделённых линейной структурой, можно ввести метрику, свойства которой являются обобщением свойств расстояния между элементами в обычном геометрическом пространстве и построить таким образом метрические пространства. Обобщениемметрическихпространств являются топологические пространства. Любое метрическое пространство топологическое, обратное, вообще говоря, неверно. На носителях , наделённых линейной структурой, можно ввести как метрику, так и норму (длину) векторов, свойства которой являются обобщением свойств длины векторов в обычном геометрическом пространстве и построить таким образом нормированные пространства. Нормированные пространства всегда метрические и соответственно, топологические. Обратное, вообще говоря, неверно. Это такие пространства, как эвклидовы, гильбертовы и банаховы. Эвклидово пространство это нормированное пространство, где норма вводится через скалярное произведение. Иногда разделяютэвклидовы пространства на собственно эвклидовы (построенные над полем действительных чисел ) и унитарные (построенные над полем комплексных чисел ). Часто бесконечномерныеэвклидовы пространства называют предгильбертовыми, потому, что гильбертовы пространства это полные эвклидовы пространства. Банаховы пространства это полные нормированные пространства. То есть гильбертовы пространства это банаховы пространства, где норма вводится через скалярное произведение. Наиболее общими пространствами, фигурирующими в функциональном анализе являются линейные топологические пространства, то есть линейные пространства Х над полем комплексных чисел или действительных чисел , которые одновременно являются и и топологическими пространствами, причём линейные операции непрерывны в рассматриваемой топологии. Соотношения между бесконечномерными пространствами отображены на рисунке.

Определение. Линейной структурой (линейным пространством, векторным пространством) называют абелеву аддитивную группу (её элементы называют векторами), определённую над полем произвольной природы (элементы поля называют скалярами ), причём , а естественное согласование между группой и полем обеспечивается аксиомами дистрибутивности: , ассоциативности по элементам поля и унитарности . (Символом 1 обозначен нейтральный элемент поля по умножению). Поле вещественных чисел и поле комплексных чисел называют основными полями, полагая, что поле стандартно вложено в поле . Если основное поле любое, то его обозначают буквой . То есть линейная структура это четвёрка .

Определение 1. Пусть задана линейная структура , где , поле совпадает или с полем действительных чисел или с полем комплексных чисел . Говорят, что на линейной структуре задано скалярное произведение , любым элементам носителя ставится в соответствие действительное или комплексное число, удовлетворяющее аксиомам (легко доказываемым для обычных геометрических векторов): 1) и (линейность по первому аргументу); 2) где черта означает комплексное сопряжение (эрмитова симметричность); 3) ,причем .

Комментарий. В определении мы абстрагируемся не только от природы изучаемых элементов и конкретного вида правил образования суммы элементов и произведения элемента на действительное число, но и от конкретного вида правила образования скалярного произведения двух элементов. Важно лишь, чтобы указанные правила удовлетворяли аксиомам. Бесконечномерныеэвклидовы пространства часто называют предгильбертовыми. В действительном эвклидовом пространствескалярное произведение коммутативно, то есть и линейно и по второму аргументу. Сложнее с комплексным эвклидовом пространством. Здесь .

Определение 2. Эвклидовой нормой элемента называют (как аналог длины вектора).

Пример. На множестве непрерывных функций, заданных на сегменте , определим скалярное произведение . Покажем, что это скалярное произведение.

Из свойств интеграла очевидно выполнение первых двух аксиом. Покажем унитарность. По теореме о среднем . Покажем, что . Если , то и . Покажем обратное. Пусть . Покажем, что . . Пусть . Тогда по теореме о сохранении знака непрерывной функции . Но тогда . Эвклидова норма элементов в пространстве непрерывных функций .

Комментарий. Скалярное произведение на множестве непрерывных функций, заданных на сегменте , можно определить, например, как или как . Так как скалярное произведение можно ввести различными способами, то и нормы тоже отличаются между собой (удава можно мерить и мартышками и попугаями).

Определение 1. Говорят, что на линейной структуре задана норма его элементов, если указан функционал, ставящий в соответствие этим элементам действительное число, удовлетворяющее аксиомам 1-3. Пара называется нормированным пространством.

Определение 2. Полное бесконечномерное нормированное пространство называется банаховым.

Пример. Доказать, что , где нормированное пространство, выполняется неравенство .

.

Комментарий. 1. Ясно, что любое эвклидово пространство нормировано. Обратное, вообще говоря, неверно нормированные пространства не обязаны быть эвклидовами.

2. Обратим внимание, что и гильбертовы пространства какполные бесконечномерные эвклидовы пространства и банаховы пространствакак полные бесконечномерные нормированные пространства построены на линейных структурах. Сейчас мы начнём строить пространства на произвольных носителях.

Определение. Пусть – произвольное непустое множество. Говорят, что на задана метрика (расстояние) , если каждой паре элементов поставлено в соответствие единственное неотрицательное число , удовлетворяющее следующим аксиомам:

1) (аксиома тождества);

2) (аксиома треугольника).

Таким образом, на носителе задан неотрицательный функционал . Пара , то есть множество с заданной на нем метрикой , называется метрическим пространством.

Комментарий. Из неравенства треугольника при сразу получаем , а при сразу получаем Но с другой стороны, неравенство треугольника можно записать так: . Тогда при сразу получаем , то есть . Тогда исходная система аксиом заменяется на часто более удобную систему из трёх аксиом:

Определение. Если – метрическое пространство и , то пара также будет являться метрическим пространством и называется подпространством пространства , если , то есть расстояние между точками – равно расстоянию между этими точками в пространстве .

Комментарий. Стандартные пространства – это метрические или нормированные пространства со стандартными носителями и со стандартными метриками или нормами. В этих случаях пространства носят стандартные названия.