Кинематика вращательного движения: угловая скорость и угловое ускорение, их связь с линейной скоростью и ускорением

Вращательным называют такое движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной кривой, называемой осью вращения (рис.1.9).Ось вращения может находиться как внутри (рис.1.9.а), так и вне тела (рис.1.9.б).

Поворот тела на некоторый угол можно задать в виде отрезка, длина которого , а направление совпадает с осью вращения. Для того, чтобы указать, в какую сторону совершается поворот вокруг данной оси, связывают направление поворота и изображающего его отрезка правилом правого винта: направление отрезка должно быть таким, чтобы, глядя вдоль него, мы видели поворот совершающимся по часовой стрелке (рис.1.10). Вектор поворота является не истинным вектором, а псевдовектором.

Векторная величина ,

где –время, за которое совершается поворот , называется угловой скоростью тела. Она направлена по оси вращения в сторону, определяемую правилом правого винта, и представляет собой псевдовектор. Модуль угловой скорости равен .

Вращение с постоянной угловой скоростью называют равномерным. Такое движение характеризуют периодом , под которым понимают время полного оборота. При этом , тогда , и . Число оборотов в единицу времени (частота обращения) равно .

Подставив , получаем: .

Вектор может изменяться как при изменении скорости вращения тела вокруг оси (по величине), так и при повороте оси вращения в пространстве (в этом случае меняется по направлению). Изменение вектора угловой скорости со временем характеризуется угловым ускорением . Угловое ускорение, также как и угловая скорость, является псевдовектором.

Отдельные точки вращающегося тела имеют различные линейные скорости . Скорость каждой из точек непрерывно изменяет свое направление. Величина скорости определяется угловой скоростью вращения тела и расстоянием рассматриваемой точки от оси вращения. Пусть за малый промежуток времени тело повернулось на угол (рис.1.11). Точка, находящаяся на расстоянии от оси, проходит при этом путь . Линейная скорость точки равна . (1.9)

Эта формула связывает модули линейной и угловой скоростей. Найдем выражение, связывающее векторы и . Положение рассматриваемой точки тела будем определять радиус-вектором , проведенным из лежащего на оси вращения начала координат О (рис.1.12). Из рисунка видно, что векторное произведение совпадает по направлению с вектором и имеет модуль, равный . Следовательно, .

Нормальное ускорение точек вращающегося тела равно .

Если ввести перпендикулярный к оси вращения вектор , проведенный в данную точку тела (рис.1.12), это выражение можно записать в векторной форме . Знак минус поставлен, так как векторы и направлены противоположно.

Будем считать, что ось вращения не поворачивается в пространстве. В этом случае расстояние рассматриваемой точки до оси вращения не меняется, , и, взяв производную от выражения (1.9), получаем

В случае сложного вращения, когда тело движется одновременно относительно нескольких осей, необходимо производить сложения угловых скоростей. Рассмотрим движение твердого тела, вра­щающегося одновременно вокруг двух пересе­кающихся осей. Сообщим некоторому телу вращение с угловой скоростью вокруг оси ОА (рис. 1.13) и затем эту ось приведем во вра­щение с угловой скоростью вокруг оси OB, неподвижной в К -системе отсчета. Найдем ре­зультирующее движение тела в К -системе.

Введем вспомогательную K '-систему отсчета, жестко связан­ную с осями ОА и ОВ. Ясно, что эта система вращается с угло­вой скоростью , и тело вращается относительно нее с угло­вой скоростью .

За промежуток времени тело совершит поворот вокруг оси АО в K' - системе и одновременно поворот вокруг оси ОВ вместе с K '- системой. Суммарный поворот есть = + . Разделив обе части этого равенства на получим

.

Таким образом, результирующее движение твердого тела в K - системе представляет собой чистое вращение с угловой ско­ростью вокруг оси, совпадающей в каждый момент с векто­ром и проходящей через точку O (рис. 1.13). Эта ось переме­щается относительно K - системы — она поворачивается с угло­вой скоростью вместе с осью ОА вокруг оси ОВ.

Нетрудно сообразить, что даже в том случае, когда угловые скорости и не меняются по модулю, тело будет обладать в K - системе угловым ускорением , направленным, согласно , за плоскость (рис. 1.13).

И последнее замечание. Поскольку вектор угловой скорости удовлетворяет основному свойству векторов — векторному сложению, можно представить как векторную сумму состав­ляющих на определенные направления, т. е. = + +..., где все векторы относятся к одной и той же системе отсчета. Этим удобным и полезным приемом часто пользуются при ана­лизе сложного движения твердого тела.