Операции над матрицами

Транспонированием называется такое преобразование матрицы, при котором строки и столбцы меняются местами с сохранением их номеров. Обозначается транспонирование значком «Т» наверху – А^Т.

Пусть дана матрица (1). Переставим строки со столбцами. Получим матрицу

,

которая будет транспонированной по отношению к матрице А. В частности, при транспонировании вектора-столбца получается вектор-строка и наоборот.

Произведением матрицы А на число l называется матрица, элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением на число l:

l A = (l a_{i j}).

Суммой двух матриц А = (a_{i j}) и B = (b_{i j}) одного размера называется матрица C = (c_ij) того же размера, элементы которой определяются по формуле c_{i j} = a_{i j} + b_{i j}.

Произведение АВ матрицы А на матрицу В определяется в предположении, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Произведением двух матриц А = (a_{i j}) и B = (b_{j k}), где i = , j= , k= , заданных в определенном порядке АВ, называется матрица С = (c _{i k}), элементы которой определяются по следующему правилу:

c _{i k} = a_{i 1} b_{1 k} + a_{i 2} b_{2 k} +... + a_{i m} b_{m k} = a_{i s} b_{s k}. (2)

Иначе говоря, элементы матрицы-произведения определяются следующим образом: элемент i-й строки и k-го столбца матрицы С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца матрицы В.

Пример 1. Найти произведение матриц и .

Решение. Имеем: матрица А размера 2х3, матрица В размера 3х3, тогда произведение АВ = С существует (матрица С размера 2х3) и элементы матрицы С равны

с₁₁ = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, с₂₁ = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, с₁₂ = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7,

с₂₂ =3×2 + 1×0 + 0×5 = 6, с₁₃ = 1×3 + 2×1 + 1×4 = 9, с₂₃ = 3×3 + 1×1 + 0×4 = 10.

, а произведение BA не существует.

Пример 2. В таблице указано количество единиц продукции, отгружаемой ежедневно на молокозаводах 1 и 2 в магазины М₁, М₂ и М₃, причем доставка единицы продукции с каждого молокозавода в магазин М₁ стоит 50 руб., в магазин М₂ - 70, а в М₃ - 130 руб. Подсчитать ежедневные транспортные расходы каждого завода.

Решение. Обозначим через А матрицу, данную нам в условии, а через В - матрицу, характеризующую стоимость доставки единицы продукции в магазины, т.е.

,

Тогда матрица затрат на перевозки будет иметь вид:

.

Итак, первый завод ежедневно тратит на перевозки 4750 руб., второй - 3680 руб.