№ п/п
| Новые понятия
| Содержание
|
| Действительные числа
| положительные и отрицательные рациональные и иррациональные числа и число нуль.
|
| Рациональные числа
| отношения целых чисел; представляются конечными или бесконечными, но периодическими десятичными дробями.
|
| Иррациональные числа
| числа, которые представляются бесконечными непериодическими дробями.
|
| Множество
| совокупность, собрание каких-то предметов – своих элементов
|
| Элементы множества
| предметы, составляющие множество.
|
| Пустое множество
| «множество», не содержащее ни одного элемента.
|
| Запись , ,
| принадлежит множеству , - элемент , не принадлежит множеству .
|
| Логические символы (кванторы):
|
|
| любой, всякий, для любого, для всех.
|
| существует, найдется.
|
| из утверждения , следует, вытекает утверждение .
|
| утверждения и равносильны.
|
| Числовые интервалы
|
открытый интервал
| множество всех действительных чисел таких, что ; концы и не включены в интервал.
|
Бесконечные (несобственные) интервалы
|
замкнутый интервал
| множество всех действительных чисел таких, что ; концы и включены в интервал.
|
| множество всех действительных чисел таких, что: .
|
| множество всех действительных чисел таких, что: .
|
| множество всех действительных чисел таких, что: .
|
| множество всех действительных чисел таких, что: .
|
| все действительные числа; вся числовая ось .
|
| Окрестность точки
| любой открытый интервал, содержащий эту точку.
|
- окрестность точки
| интервал .
|
| Переменная величина
| величина, принимающая различные значения.
|
| Область значений переменной величины
| множество всех значений, которые принимает (пробегает) данная переменная величина.
|
| Последовательность
| переменная величина, значения которой можно перенумеровать: .
|
| Функция
| переменная величина есть функция переменной величины , если каждому значению по некоторому правилу поставлено в соответствие определенное значение ; запись .
|
| Независимая переменная, аргумент
| если задана функция , то называется независимой переменной или аргументом.
|
| Область определения функции
| множество (область) значений аргумента.
|
| Область значений функции
| множество значений, принимаемых функций.
|
| График функции
| множество точек на плоскости, абсциссами которых являются значения аргумента, а ординатами значения функции, соответствующие этим значениям аргумента; множество точек .
|
| Предел переменной величины
| число есть предел переменной величины , если для любого , начиная с некоторого момента в изменении , выполняется неравенство ; запись .
|
| Бесконечно малая (б. м.)
| переменная величина называется бесконечно малой, если .
|
| Бесконечно большая (б. б.)
| переменная величина называется бесконечно большой, если обратная величина - б. м.
|
| Два замечательных предела
| (первый замечательный предел).
(второй замечательный предел).
|
| Сравнение б. м.
| сравнить две бесконечно малые и , значит найти предел их отношения: ; если , то и - одного порядка; в частности, если , то и - эквивалентные б. м.; если , - высшего порядка (малости) по сравнению с ; запись: .
|
| Непрерывность функции в точке
| функция непрерывна в точке , если ; другое определение: пусть (приращение аргумента) и (приращение функции). Функция непрерывна в точке , если б. м. приращению аргумента соответствует б. м. приращение функции : .
|
| Касательная прямая
| предельное положение секущей, когда две точки ее пересечения с линией стремятся слиться в одну.
|
| Производная функции в точке
| - предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
|
| Геометрический смысл производной
| - тангенс угла наклона касательной к графику функции , проведенной в точке .
|
| Механическая интерпретация производной
| - скорость изменения функции в точке (относительно изменения аргумента ); если - зависимость пути от времени, то (производная пути по времени) – скорость движения в момент .
|
| Дифференциал функции
| дифференциал есть главная часть приращения функции, пропорциональная приращению аргумента ; б. м. высшего порядка относительно .
|
| Дифференциал независимой переменной
| то же, что произвольное приращение независимой переменной .
|
| Геометрический смысл дифференциала функции
| дифференциал - приращение ординаты касательной прямо, проведенной к графику функции в точке .
|
| Дифференцируемая функция
| Функция дифференцируема в точке , если существует (конечная) производная существует дифференциал ; дифференцируемая в функция непрерывна в , обратное не верно.
|
| Сложная функция (функция от функции) и ее производная
| , где , т. е. - сложная функция, .
|
| Инвариантность формы дифференциала
| для дифференциала форма записи дифференциала функции : не зависит от того, будет ли независимым переменным или промежуточным аргументом.
|
| Обратная функция и ее дифференцирование
| если разрешить относительно , то - обратная функция к . Производные обратных функций являются взаимно обратными величинами:
|
| Параметрическое задание функции.
| связь между аргументом и функцией выражена через посредство третьей переменной - параметра; и заданы как функции параметра: , .
|
Дифференцирование параметрически заданных функций.
| производная .
|
| Монотонные функции
| функции возрастающие или убывающие. Функция возрастает (убывает), если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции
|
| Признак возрастания или убывания
| - функция возрастает, - функция убывает.
|
| Точки максимума, минимума, экстремума
| точка - точка максимума (минимума) функции , если значение больше (меньше) всех значений , принимаемых в некоторой окрестности ; определение подчеркивает локальный характер понятия; точка экстремума – общее название точек максимума и минимума.
|
| Необходимый признак экстремума (признак Ферма)
| если в точке экстремума производная существует, то она равна нулю.
|
| Достаточный признак экстремума
| если производная при переходе через меняет знак с «» на «», то - точка максимума, если с «» на «», то - точка минимума.
|
| Асимптоты и их отыскание
| прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от точки на кривой до стремится к нулю, когда точка неограниченно удаляется от начала координат; если , то прямая - вертикальная асимптота графика ; прямая - наклонная асимптота (в частности, при - горизонтальная), если , ; при нахождении наклонных асимптот надо различать случаи и .
|
| Выпуклость (вогнутость) кривой
| кривая выпукла (вогнута), если лежит над (под) любой свой касательной.
|
| Признак выпуклости (вогнутости)
| - выпукла, - вогнута.
|
| Точка перегиба
| точка на кривой, которая отделяет участок выпуклости от участка вогнутости.
|
| Признак точки перегиба
| или не существует – необходимый признак, меняет знак при переходе через точку , тогда в точке перегиб – достаточный признак.
|
| Правило Лопиталя
| служит для нахождения , когда (неопределенность ), или (неопределенность ); правило утверждает: если существует конечный или бесконечный предел отношения производных , то существует и , и эти пределы равны.
|
| Формула Тейлора
| представление функции, имеющей в окрестности производные до порядка в виде суммы многочлена степени , расположенного по степеням () и некоторого остаточного члена, содержащего в степени.
|