Определение

Пусть и , где , — два конечных множества.

Назовём матрицей размера (читается m на n) с элементами из некоторого кольца или поля отображение вида

.

Если индекс i пробегает множество M, а j пробегает множество N, то элемент A (i, j) оказывается элементом матрицы, находящемся на пересечении i -той строки и j -ого столбца:

· i -ая строка матрицы состоит из элементов вида A (i, j), где j пробегает всё множество N;

· j -ый столбец матрицы состоит из элементов вида A (i, j), где i пробегает всё множество M.

Таким образом, матрица размера состоит в точности из

· m строк (по n элементов в каждом)

· и n столбцов (по m элементов в каждом).

В соответствии с этим

· каждую строку матрицы можно интерпретировать как вектор в n -мерном координатном пространстве ;

· каждый столбец матрицы — как вектор в m -мерном координатном пространстве .

Сама матрица естественным образом интерпретируется как вектор в пространстве имеющим размерность mn. Это позволяет ввести покомпонентное сложение матриц и умножение матрицы на число (см. ниже); то что касается матричного умножения, то оно существенным образом опирается на прямоугольную структуру матрицы.

Если у матрицы количество строк m совпадает с количеством столбцов n, то такая матрица называется квадратной, а число m = n называется размером квадратной матрицы или её порядком.