Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как противостоять манипуляциям мужчин? Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






ГЛАВА I. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. § 1





ГЛАВА I. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. § 1

Матрицы

Основные понятия

1. Понятие матрицы. Прямоугольная таблица чисел (вещественных или комплексных)

называется числовой матрицей (или просто матрицей). Числа aij называются элементами матрицы; первый индекс i обозначает номер строки, а второй индекс j − номер столбца, на пересечении которых стоит элемент aij. Например, элемент a12 стоит на пересечении первой строки и второго столбца.

Матрица A имеет m строк и n столбцов. Поэтому ее называют m × n-матрицей или матрицей с размерами m × n.

Для m × n-матрицы А можно использовать краткое обозначение (aij)m × n, а если размеры матрицы заранее оговорены, то, не указывая их, будем писать (aij).

Если m = n (число строк матрицы равно числу столбцов), то матрица называется квадратной матрицей n-го порядка.

Две m × n-матрицы А = (aij) и B = (bij) называются равными (А = В), если их элементы соответственно равны: aij = bij, i = 1, ... , m; j = l, ... , n.

2. Линейные операции над матрицами. Суммой (разностью) m × n-матриц А = (aij) и B = (bij) называется m × n-матрица C = (cij), элементы которой равны суммам (разностям) соответствующих элементов матриц А и B: cij = aij + bij (cij = aijbij).

Обозначение: C = A + B (C = AB).

Подчеркнем, что сложение и вычитание вводятся для матриц только с одинаковыми размерами.

Произведением m × n-матрицы А = (aij) на число х называется m × n-матрица B = (bij), элементы которой равны произведениям соответствующих элементов матрицы A на число х: bij = xaij.

Обозначение: В = xA.

Введенные действия (сложение и вычитание матриц, умножение матрицы на число) называются линейными операциями над матрицами. Они обладают следующими свойствами. Для любых m × n-матриц A, B, C и любых чисел x и y справедливы равенства 1°−5°.

1°. A + B = B + A (коммутативность сложения).

2°. (A + B) + C = A + (B + C) (ассоциативность сложения).



3°. х(A + B) = xA + xB (распределительное свойство относитель- но числового сомножителя).

4°. (x + y)A = xA + yA (распределительное свойство относительно матричного сомножителя).

5°. x(yA) = (xy)A.

3. Транспонированная матрица. Расположим строки m × n- матрицы A = (aij) в виде столбцов, не меняя их порядка (т. е. первая строка станет первым столбцом и т.д.). Получится n × m-матрица

,

которая называется транспонированной по отношению к матрице A и обозначается AТ.

Обозначим элементы матрицы AТ через aijТ (i = 1, ... , n; j = 1, ... , m). Согласно определению транспонированной матрицы справедливы равенства

  aijТ = aji, i = 1, ... , n; j = 1, ... , m (1)

Операция транспонирования (т. е. переход от матрицы A к матрице AТ) обладает следующими свойствами. Для любых m × n-матриц A и B и любого числа х справедливы равенства 1°, 2°.

1°. (A + B)Т = AТ + BТ.

2°. (xA)Т = xAТ.

4. Умножение матриц. Произведением матрицы А = (aij)m × n на матрицу B = (bij)n × k называется матрица C = (cij)m × k, элементы которой определяются формулой

Обозначение: C = AB.

Подчеркнем, что произведение AB определено только для таких матриц, у которых число столбцов матрицы A (первого сомножителя) равно числу строк матрицы B (второго сомножителя). При этом число строк матрицы С = равно числу строк матрицы A, а число столбцов матрицы С равно числу столбцов матрицы В.

Умножение матриц обладает следующими свойствами. Для любых матриц A, В, С и любого числа х справедливы равенства 1°−4° (предполагается, что размеры матриц A, В, С таковы, что левые части равенств определены, тогда будут определены и правые части равенств).

1°. A(ВС) = ()С (ассоциативность умножения).

2°. A(В + С) = + (распределительное свойство).

3°. (хA)В = A() = x().

4°. ()Т = ВТAТ.

Отметим, что умножение матриц не обладает свойством коммутативности. Более того, если Am × n-матрица, а Вn × k-матрица, то произведение определено, а произведение ВA при km не определено. Если же k = m, то произведение ВA также определено, но при mn AВ и ВA − квадратные матрицы разных порядков (соответственно порядка тип), так что вопрос об их равенстве некорректен. Если же m = n = k, то обе матрицы и ВA − квадратные матрицы n-го порядка, но и в этом случае, вообще говоря, ВA.

5. Обратная матрица. Введем так называемый символ Кронекера:

где i и j − произвольные натуральные числа.

Матрица

называется единичной матрицей n-го порядка. Для нее используются также следующие обозначения: Еn, I, In.

Квадратная матрица B называется обратной по отношению к матрице A с такими же размерами, если

AB = BA = E.

Обратная матрица обозначается символом А−1.

ГЛАВА I. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. § 1








Date: 2015-09-02; view: 64; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2018 year. (0.01 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию