И наименьшее значение функций на промежутке

Всюду далее функция f (x) определена на рассматриваемых промежутках.

Теорема 1 (достаточное условие монотонности). Дифференцируемая на (a, b) функция возрастает (убывает) на этом интервале тогда и только тогда, когда

Точка х ₀ называется точкой локального максимума (минимума) функции f (x), если существует некоторая окрестность точки такая, что для всех x из этой окрестности выполняется неравенство

Значение называется локальным максимумом (минимумом) функции.

Точки максимума или минимума функции называются точками экстремума (локального). Максимум и минимум называются экстремумом функции.

Теорема 2 (необходимое условие существования экстремума функции). Если в точке функция f (x) достигает экстремума, то ее производная в этой точке равна нулю или не существует.

Те точки из области определения функции f (x), в которых производная функции f (x) обращается в нуль или не существует, называют критическими. Исследование функции на экстремум начинается с нахождения критических точек. Однако не в каждой критической точке существует экстремум. Для того чтобы определить точки экстремума, используют достаточные условия (признаки экстремума).

Теорема 3 (первый признак экстремума функции). Пусть – критическая точка непрерывной функции f (x). Если в некоторой окрестности точки выполняется условие

то – точка локального максимума;

если выполняется условие

то – точка локального минимума.

Если производная имеет один и тот же знак в левой и правой полуокрестности точки то не является точкой экстремума.

Теорема 4 (второй признак экстремума функции). Пусть – критическая точка дважды дифференцируемой функции f (x). Тогда является точкой локального минимума функции f (x), если и точкой локального максимума, если

Теорема 5 (третий признак экстремума функции). Пусть f (x) – n раз непрерывно дифференцируемая в критической точке функция и Тогда:

1) если n – четное и то – точка локального максимума;

2) если n – четное и то – точка локального минимума;

3) если n – нечетное, то не является точкой локального экстремума.

З а м е ч а н и е 1. При исследовании функции и построении ее графика целесообразно использовать первый признак экстремума, так как одновременно получаем возможность исследования функции на монотонность.

Точка называется точкой глобального максимума (минимума) функции f (x) на некотором промежутке, если для любой точки x из этого промежутка выполняется неравенство

Точки глобального максимума и минимума называются точками глобального экстремума. Значения функции в этих точках называются соответственно глобальным максимумом (наибольшим значением) и глобальным минимумом (наименьшим значением).

Теорема 6 (Вейерштрасса). Если функция f (x) непрерывна на отрезке, то она достигает на нем своих наименьшего и наибольшего значений.

Непрерывная на отрезке функция достигает наименьшего (наибольшего) значений либо на концах отрезка, либо в точках ее локального экстремума.

Для отыскания глобального экстремума функции f (x) на отрезке [ a, b ] необходимо:

1) найти производную

2) найти критические точки функции;

3) найти значения функции на концах отрезка, т. е. f (a) и f (b), а также в критических точках, принадлежащих (a, b);

4) из всех полученных значений функции определить наибольшее и наименьшее ее значения.

График функции называется вогнутым (выпуклым вниз) на (a, b), если дуга кривой на этом интервале расположена выше любой касательной, проведенной к графику этой функции (рис. 17.1).

Рис. 17.1

График функции называется выпуклым (выпуклым вверх) на (a, b), если дуга кривой на этом интервале расположена ниже любой касательной, проведенной к графику этой функции (рис. 17.2).

Рис. 17.2

Теорема 7. Если функция f (x) дважды дифференцируема на (a, b) и всюду на этом интервале, то график функции вогнутый (выпуклый) на (a, b).

Точка такая, что график функции меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, проходя через , называется точкой перегиба (рис. 17.3).

Рис. 17.3

Для нахождения точек перегиба вначале находят критические точки 2-го рода – те значения x, для которых или не существует. Далее используют достаточные условия перегиба.

Теорема 8 (первый признак перегиба). Если функция f (x) непрерывна в критической точке 2-го рода и ее вторая производная имеет различные знаки слева и справа от то – точка перегиба.

Теорема 9 (второй признак перегиба). Если функция f (x) имеет непрерывную производную в точке в которой то – точка перегиба.

З а м е ч а н и е 2. При исследовании функции и построении ее графика целесообразно использовать первый признак перегиба, так как одновременно получаем возможность исследования графика функции на выпуклость и вогнутость.

План исследования функции и построения графика

1. Найти область определения D (f) функции f (x).

2. Найти область значений E (f) (если это возможно вначале, часто E (f) можно указать только по результатам исследования).

3. Исследовать функцию на четность.

4. Исследовать функцию на периодичность.

5. Найти точки пересечения с осью Ox (нули функции) и точки пересечения с осью Oy.

6. Найти промежутки знакопостоянства функции.

7. Исследовать функцию на непрерывность, дать классификацию разрывов.

8. Найти асимптоты графика функции (горизонтальную, вертикальную, наклонную).

9. Исследовать функцию на монотонность и экстремум.

10. Исследовать график функции на выпуклость, вогнутость, перегиб.

11. Построить график функции.

Пример 1. Найти экстремумы функции

Решение. Подозрительными на экстремумы точками будут те, в которых производная функции либо равна нулю, либо не существует.

Найдем производную функции:

Она определена для любого

Приравняем производную к нулю:

значит, Решая это уравнение, получим Областью определения функции является числовая прямая.

Исследуем функцию на экстремум в этих точках тремя способами.

1-й способ. Воспользовавшись теоремой 3, исследуем поведение функции на промежутках

Для этого определим знак производной, т. е. выражения Очевидно, что для всякого выполняется неравенство Поэтому знак выражения зависит от знака квадратичного выражения (рис. 17.4).

Рис. 17.4

Так как при «переходе» через точку с абсциссой производная меняет знак с «+» на «–», то, согласно теореме 1, в этой точке функция достигает максимума.

При «переходе» через точку производная меняет знак с «–» на «+». Поэтому в данной точке функция достигает минимума.

2-й способ. Воспользуясь теоремой 4, вычислим вторую производную функции:

Вычислим ее значение в критических точках и

Согласно теореме 4, в точке функция достигает максимума.

Согласно теореме 4 в точке функция достигает минимума.

3-й способ. Воспользуемся теоремой 5. Так как производная первого порядка в точке равна нулю, а производная второго (четного) порядка в этой точке меньше нуля, то, согласно теореме 5, – точка локального максимума. В точке производная первого порядка также равна нулю, а производная второго (четного) порядка больше нуля. Следовательно, точка – точка локального минимума.

Вычислим максимум и минимум функции.

Максимум функции равен значению функции в точке

Итак, локальный максимум функции равен

Вычислим значение функции в точке

Итак, локальный минимум функции равен

Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [– 2, 2].

Решение. Найдем точки, которые будут подозрительными на экстремум. Для этого вычислим производную функции

Производная существует во всех точках Найдем критические точки. Полагаем т. е. Получаем Обе точки и принадлежат интервалу (– 2, 2). Поэтому, будем искать значение функции в этих точках и на концах отрезка. Вычисляем:

Выбрав среди полученных значений наибольшее и наименьшее, получаем:

Пример 3. Дана функция Вычислить где m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции.

Решение. Найдем производную функции:

Разложив полученное выражение на множители, получим:

Поскольку функция задана на всей числовой оси (не на отрезке), то исследуем производную на знак методом интервалов (рис. 17.5).

Рис. 17.5

В окрестности точки выполняется условие

Поэтому, согласно теореме 3 (первый признак экстремума функции), – точка локального максимума.

В окрестностях точки производная всюду отрицательна. Поэтому в точке экстремума нет.

В окрестности точки выполняется условие

Поэтому – точка локального минимума.

Найдем значения функции в точках минимума и максимума:

Иных точек локального минимума и максимума функция не имеет.

Искомая величина равна

Пример 4. Найти точки перегиба функции

Решение. Для данной функции найдем критические точки 2-го рода. Для этого найдем производную 2-го порядка заданной функции:

В точке полученная производная а в точке производная не существует. Поэтому точки и являются критическими точками 2-го рода.

Исследуем функцию на перегиб несколькими способами.

1-й способ. Воспользуемся теоремой 8 (первым признаком перегиба). Исследуем вторую производную на знак методом интервалов (рис. 17.6).

Рис. 17.6

В окрестности точки выполняется условие:

Поэтому, согласно теореме 8, – точка перегиба функции.

В окрестности точки выполняется условие:

Поэтому – точка перегиба.

2-й способ: Воспользуемся теоремой 9 (второй признак перегиба). Вычислим:

Вычислим значение этой производной в точке где

Согласно теореме 9 в точке функция имеет перегиб.

В точке заданная функция не определена, однако слева и справа от нее имеет различный характер выпуклости.

Вычислим значение функции в точке

Получили – точка перегиба.

Пример 5. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение. Исследование функции произведем согласно указанному выше плану.

1. Область определения функции:

2. Область значений E (f) укажем по результатам исследования.

3. Исследуем функцию на четность и нечетность:

Функция не является четной и нечетной.

4. Функция непериодическая.

5. Найдем точки пересечения графика с координатными осями.

Если у = 0, т. е. то х = 1, х = –3 – точки пересечения с осью Ох (нули функции).

Если х = 0, то у = 3 – точка пересечения с осью Оу.

6. Найдем промежутки знакопостоянства функции с помощью метода интервалов (рис. 17.7).

Рис. 17.7

Получаем: если

если

7. Функция непрерывна на всей числовой оси.

8. Горизонтальных асимптот функция не имеет, так как она определена на всей числовой прямой.

Ищем наклонную асимптоту

Функция наклонных асимптот также не имеет.

9. Исследуем функцию на монотонность и экстремум. Найдем

Производная существует Критическими точками являются те, для которых т. е. и

Исследуем знак производной для конкретных промежутков, на которые критические точки делят числовую ось (рис. 17.8).

Рис. 17.8

Согласно теореме 1, функция возрастает на множестве и убывает на что схематически показано на рис. 17.8. Согласно теореме 3, в точке она имеет локальный максимум, а в точке х = 1 – минимум. Найдем их значения:

10. Исследуем график функции на выпуклость, вогнутость и перегиб. Вычислим производную 2-го порядка:

Если то т. е. – критическая точка 2-го рода, иных нет.

Имеем если и

если (рис. 17.9).

Рис. 17.9

Значит, график функции является выпуклым на и вогнутым на (согласно теореме 7), – точка перегиба (теорема 8).

11. Используя полученные данные, построим график функции (рис. 17.10).

Рис. 17.10

Заметим, что

Пример 6. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение. 1. Область определения:

2. Область значений E (f) укажем по результатам исследования.

3. Поскольку область определения D (f) функции не является множеством, симметричным относительно х = 0, то функция не является четной и нечетной.

4. Функция непериодическая.

5. График функции не пересекает ось Ох, так как для всех

Если х = 0, то – точка пересечения с осью Оу.

6. Для всех выполняется т. е. функция положительна на всей области определения.

7. Функция непрерывна на своей области определения, х = 2 – точка разрыва.

Исследуем характер разрыва.

Вычисляем односторонние пределы в точке х = 2:

Следовательно, х = 2 – точка разрыва 2-го рода (бесконечный скачок).

8. Найдем асимптоты функции. Поскольку

то у = 1 – горизонтальная асимптота.

Мы показали, что в точке х = 2 имеется бесконечный скачок, а поэтому х = 2 – вертикальная асимптота.

Ищем наклонную асимптоту

Получаем у = 1 – это горизонтальная асимптота. Наклонных асимп­тот нет.

9. Исследуем функцию на монотонность и экстремум.

Найдем производную функции:

Производная положительна на всей D (f). Следовательно, функция возрастает всюду, где она определена. Экстремума нет.

10. Находим вторую производную:

Поскольку и на D (f), то знак производной 2-го порядка зависит от знака выражения 5 – 2 х. Очевидно, что если На этих промежутках график функции вогнут.

Если то т. е. график функции является выпуклым на этом промежутке. Точка является точкой перегиба, так как при этом значении вогнутость графика изменяется на его выпуклость. Найдем ординату, соответствующую точке перегиба:

11. Используя результаты исследования, строим график функции (рис. 17.11).

Рис. 17.11

В дополнении отметим, что

Пример 7. Для перевозки груза необходимо изготовить контейнер с крышкой, объем которого равен 72 м³, а стороны основания относятся как 1:2. Определить, каковы должны быть размеры контейнера, чтобы на его изготовление ушло наименьшее количество материала.

Решение. Контейнер представляет собой прямоугольный параллелепипед ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁, объем которого 72 м³ (рис. 17.12).

Рис. 17.12

Пусть k – коэффициент пропорциональности. Тогда стороны основания равны:

откуда

т. е.

Количество материала, необходимого на изготовление контейнера, численно равно полной поверхности параллелепипеда, т. е.

Выразим площадь боковой поверхности:

Площадь основания:

Поэтому площадь полной поверхности выражается функцией

Исследуем полученную функцию на экстремум с помощью первой производной:

Критические точки: значение k = 0 (производная не существует) – не подходит по смыслу задачи.

т. е.

При переходе через точку производная функции меняет свой знак с «–» на «+». Значит, при площадь полной поверхности будет наименьшей. Получаем размеры контейнера: