Фазовая плоскость для уравнения движения маятника

Построим фазовую плоскость для дифференциального уравнения, описывающего движение маятника. Для кинетической и потенциальной энергии маятника имеем выражения

, .

Если положить , , то интеграл энергии Т+П=const запишется в виде .

Графики функции и фазовые представлены на рисунке.

Картина фазовых кривых периодична по j с периодом 2p. При движение невозможно. При . маятник находится в положении равновесия, когда его центр масс занимает самое низкое из возможных положений. На фазовой плоскости этому положению равновесия соответствуют точки, в которых j =2кp,. . Эта точки типа центр. Они окружены замкнутыми кривыми, соответствующими колебаниям маятника (). При возможны два типа движений. Один соответствует положению равновесия, когда его центр занимает наивысшее возможное положение. Этому положению соответствуют точки j =p+2кp, . Это точки типа седло. Для другого типа движений при центр масс маятник асимтотически при стремится занять наивысшее положение. Асимтотическим движениям на фазовой плоскости соответствуют кривые, соединяющие точки типа седло. Эти кривые являются сепаратрисами.

При движение маятника будет вращательным. Для этого движения абсолютная величина угла монотонно возрастает. Этим движениям на фазовой плоскости соответствуют незамкнутые кривые. Сепаратрисы разделяют области колебательных и вращательных движений.

___________________________