Тема 1. Угол между прямыми

Первый тип задач на нахождение угла между скрещивающимися прямыми. Это равносильно тому, чтобы найти угол между пересекающимися прямыми.

Общая рекомендация:

1. Найдите прямую параллельную одной из заданных.

2. Достроить до треугольника

3. Узнать какой треугольник, найти его стороны

4. Используя теорему косинусов, найдите искомый.

Замечание: Стараться находить прямую, не выходя «за рамки фигуры»

Задачи

1. В кубе A…D₁ найдите косинус угла между прямыми AB и CA₁.

Решение:

Заметим, что DC||AB.

DC=a, ,

Данный треугольник прямоугольный. Поэтому

Ответ:

2. В правильном тетраэдре ABCD точка Е – середина ребра СD. Найдите косинус угла между прямыми BC и AE

Решение:

Проведем через середину ребра BD т.F прямую EF. EF будет средней линией DDBC. Поэтому EF будет параллельна ВС. Нам нужно найти угол AEF.

Рассмотрим DAEF.

.

Следовательно, данный треугольник равнобедренный.

По теореме косинусов найдем косинус угла AEF:

Ответ:

3. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ и СА₁

Указание:

Заметим, что AB || A₁B₁

Рассмотрите треугольник А₁В₁С.

4. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точка E – середина ребра SD. Найдите тангенс угла между прямыми SB и AE.

Указание:

Провести через точку Е прямую параллельную SB.

5. В правильной шестиугольной призме A…F₁, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ и EF₁

Указание:

E₁D₁||AB.

6. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны которой основания равны 1, а боковые ребра 2, найдите косинус угла между прямыми SB и AE

Указание:

AE || BD.

Другие задачи (из диагностической)