Бернулли для струйки и потока идеальной жидкости

Воспользуемся основным законом механики, а именно:

Равнодействующая всех сил, действующих на данное тело, равна массе тела, умноженной на ускорение, с которым движется это тело.

Полная сила инерции равна: I = - m(dV/dt). Будучи отнесенной к единице массы, полная сила инерции даст единичную силу инерции.

Ее проекции на координатные оси будут равны:

, , .

Теперь необходимо внести эти составляющие в уравнения Эйлера дл гидростатики и получим уравнения всех единичных сил, действующих в движущейся жидкости.

Преобразуем уравнения Эйлера к следующему виду:

Или после преобразований

Эти уравнения носят название дифференциальных уравнений Эйлера для движущейся идеальной жидкости. Они устанавливают связь между проекциями объемных, массовых сил и скоростей, давлением и плотностью жидкости и являются основой для изучения некоторых вопросов гидродинамики.

Уравнения не учитывают ни сил трения, ни сил сцепления (вязкости), т.к. они получены из уравнений статики, а в статических уравнениях данные величины не фигурируют.

Далее рассмотрим уравнения живых сил, для чего умножим уравнения Эйлера на dx, dy, dz соответственно, и сложим их почленно:

.

Для установившегося движения в скобках слева стоит полный дифференциал давления dp. Справа будем иметь:

dx/dt = V_x; dy/dt = V_Y; dz/dt = V_z ;

Тогда VxdVx = d(V_x²/2); VydVy = d(V_Y²/2); VzdVz = d(Vz²/2).

Но сумма полных дифференциалов трех составляющих скорости по осям х, у, z равна полному дифференциалу скорости:

d(V_x²/2) +d(V_Y²/2) +d(V_z²/2) =d(V²/2). Окончательно получим закон живых сил в следующем виде:

d(V²/2) = Xdx + Ydy +Zdz -dp/ρ.

Закон живых сил можно сформулировать в следующем виде: дифференциал кинетической энергии частицы идеальной жидкости при установившемся движении равен сумме элементарных работ сил тяжести и сил давления.

Рассмотрим наиболее важный для практики случай движения жидкости: Расположим в несжимаемой жидкости, находящейся под действием силы тяжести в установившемся движении, оси координат так, что ось z была направлена вверх параллельно направлению действия силы тяжести. Тогда X=Y=0, Z=-g (знак «минус» поставлен, так как ось Z направлена вверх, а ускорение g вниз) и уравнение живых сил перепишется в следующем виде:

.

Перенеся все составляющие в левую часть, получим:

.

Разделим каждый член на g и сумму дифференциалов заменим дифференциалом суммы:

.

После интегрирования получим уравнение Бернулли для элементарной струйки жидкости в установившемся движении:

.

Дифференциал равен нулю, если под знаком дифференциала стоит постоянная величина.

Все три члена уравнения Бернулли представляют собой механическую энергию, поэтому можно сделать следующее заключение: вдоль линии тока несжимаемой и невязкой жидкости запас механической энергии, отнесенный к единице массы, веса или объема остается постоянным.

Механическую энергию жидкости, отнесенную к единице веса, называют полным напором; суммы энергии сил давления и положения, отнесенную к единице веса - статическим напором. Вдоль данной линии тока (в установившемся движении жидкости) сумма скоростного и статического напоров остается постоянной.

Если вспомним, что P/pg пьезометрический напор, a z геометрический, а также введя понятие скоростного (динамического) напора V²/2g, то можно сказать, что сумма скоростного, пьезометрического и геометрического напоров вдоль линии тока есть величина постоянная.

Так как сумма z+P/pg представляет собой удельную потенциальную энергию жидкости, a V²/2g- удельную кинетическую энергию, то уравнение Бернулли устанавливает постоянство полной энергии (суммы кинетической и потенциальной энергии) и является частным случаем закона сохранения энергии.

Получим теперь уравнение Бернулли для потока идеальной жидкости, для чего подсчитаем полную энергию жидкости в живом сечении, умножив все составляющие на весовой расход элементарной струйки и проинтегрировав по площади живого сечения :

.

Т.к. давление распределяется по закону гидростатики, то z+P/pg =const и может быть вынесено за знак интеграла. Кроме того, скорости всех элементарных трубок одинаковы, поэтому также выносятся за знак интеграла. Тогда получим:

.

Возвращаясь теперь к размерности удельной энергии, получим уравнение Бернулли для потока идеальной жидкости:

.

Уравнение не учитывает потерь напора и неравномерности распределения скоростей по сечению потока, возникающих при движении реальной жидкости.

Рассмотрим построение пьезометрической и напорной линии для случая движения идеальной жидкости (рис. 28).

В случае идеальной жидкости полный напор (полная энергия) остается постоянной вдоль всего потока, а потенциальная и кинетическая энергии (гидростатический и скоростной напоры) могут переходить друг в друга. Например: уменьшение диаметра трубопровода приведет к увеличению скорости и скоростного напора, соответственно, давление в этом сечении (пьезометрический напор) уменьшится.

Расположим в нескольких сечениях пьезометрические и гидродинамические трубки. Для идеальной жидкости во всех гидродинамических трубках уровень жидкости будет одинаков и выше, чем в пьезометрических на величину скоростного напора (удельной кинетической энергии). Соединим уровни жидкости в пьезометрах - получим пьезометрическую линию. А, соединив уровни жидкости в гидродинамических трубках, получим напорную линию. Напорная линия представляет собой горизонтальную линию.

Рисунок 28 - Пример построения пьезометрической и напорной линии для идеальной жидкости