Поглинання світла. Закон Бугера-Ламберта

Лекція №13 Хвильова оптика

Інтерференція

Дифракція

Поляризація світлових хвиль. Види поляризації

Закони Малюса та Брюстера

Поглинання світла. Закон Бугера-Ламберта

ü Інтерференція

Хвилі узгоджені за напрямами поляризації (коливань) та однакові за частотою в оптиці називають когерентними (узгодженими). Взаємодія двох (або взагалі обмеженого числа, декількох) таких когерентних хвиль має назву інтерференції. Інтерференція, зрозуміло, відсутня для некогерентних хвиль.

Розглянемо закон складання інтенсивностей для двох когерентних хвиль:

(1)

Третій фактор у рівнянні (1) називатимемо інтерференційним фактором. Він дорівнює нулю для некогерентних хвиль. Для когерентних хвиль різниця фаз поміж хвилями є сталою

(2)

Інтенсивність максимальна там, де косинус у рівнянні (1) приймає значення , причому

(3)

і більша за суму інтенсивностей. Інтенсивність мінімальна там, де косинус приймає значення , причому

(4)

що менше суми інтенсивностей.

Таким чином, під час складання (інтерференції) двох когерентних хвиль інтенсивність хвиль неоднорідно перерозподіляється в просторі з утворенням максимумів та мінімумів інтенсивності. Тоді як під час складання некогерентних хвиль їх інтенсивності однорідно складаються в просторі і всюди сумарна інтенсивність є простою сумою двох інтенсивностей. Перерозподіл енергії когерентних світлових хвиль в просторі та яскраво виражена неоднорідність такого розподілу і є головною ознакою явища інтерференції. Особливо прозорим це твердження стає, якщо розглянути випадок . За такої умови інтенсивність у максимумі у чотири рази більша від інтенсивності кожної хвилі, тоді як інтенсивність у мінімумі взагалі стає нульовою, як це видно з виразів (3,4).

Розглянемо дві когерентні хвилі, які прийшли в одну точку спостереження () від двох різних, але когерентних джерел (), різними оптичними шляхами (рис.1). Причому, , а , тобто ми припускаємо, що хвилі йшли до точки не лише різними геометричними шляхами (), але й в середовищах з різними коефіцієнтами заломлення (),отже, з різними швидкостями. Добуток показника заломлення на геометричний шлях () називатимемо оптичним шляхом хвилі.

Згідно із принципом суперпозиції полів у точці спостереження змінні електричні та магнітні поля обох хвиль викликають гармонічні коливання електромагнітного поля. Через те що складаються гармонічні коливання однакової частоти та спрямування (нагадуємо, що хвилі є когерентними), результатом також буде гармонічне коливання з амплітудою, яка виражається через амплітуди хвиль, що інтерферують, за теоремою косинусів:

(5)

де - різниця фаз поміж хвилями в точці спостереження . Різницю фаз поміж двома хвилями можна знайти з виразу:

(6)

де ми позначили - різницю оптичних шляхів двох хвиль, показаних на рис.1.

Якщо різниця фаз відповідатиме умові:

(7)

то косинус у рівнянні (1) сягає максимального значення і третій чинник (так званий інтерференційний фактор) у рівнянні (1) додається до двох перших. Амплітуда коливань в точці спостереження сягає максимуму в таких умовах.

Якщо ж різниця фаз вдовольнятиме умові:

(8)

то , а інтерференційний фактор є від’ємним. Амплітуда коливань в точці спостереження є мінімально можливою.

Умови (7) та (8) можна переписати у наступному вигляді, якщо підставити в них (6):

(9)

з яких зрозуміло, що за умови, коли різниця оптичних шляхів складає цілу кількість довжин хвиль, у точці спостереження спостерігається максимум інтенсивності; а за умови різниці оптичних шляхів, котра дорівнює напівцілому числу довжин хвиль – мінімум.

ü Дифракція

Згідно до принципу, який вперше сформулював ще Гюйгенс, кожна точка на хвильовому фронті (у момент часу ) може розглядатися як незалежний центр вторинних (віртуальних), сферичних хвиль, які розповсюджуються по всіх напрямах. Результуюча хвиля в момент часу розглядається як накладання безлічі таких вторинних хвиль і нове положення хвильового фронту можна знайти як огинаючу поверхню для таких вторинних хвиль (рис.2), кожна з яких має радіус розповсюдження , де - фазова швидкість хвилі.

Геометрична побудова нового положення хвильового фронту (зверніть увагу, що побудову Гюйгенса можна також застосувати і у минуле, тобто для моменту часу ) за принципом Гюйгенса дозволяла наочно пояснити прямолінійність розповсюдження світла в однорідних середовищах, закони відбиття та заломлення.

Френель у 1818 році переглянув принцип Гюйгенса, зауваживши, що всі точки на хвильовому фронті коливаються в одній фазі за визначенням хвильової поверхні. Отже, всі вторинні сферичні хвилі, джерелами яких є точки хвильового фронту, є когерентними хвилями, здатними на інтерференцію поміж собою. Френель запропонував розглядати нове положення хвильового фронту як результат інтерференції безлічі когерентних вторинних сферичних хвиль. Зокрема, точки огинаючої поверхні Гюйгенса є, за Френелєм, просто точками максимумів інтенсивності під час інтерференції безлічі когерентних вторинних хвиль.

Інтерференція вторинних хвиль відрізняється від інтерференції двох, або взагалі обмеженої кількості когерентних хвиль. Вторинних хвиль на рис.2 показано лише декілька (шість), але насправді їх є стільки, скільки є точок на хвильовому фронті, інакше кажучи безліч. Тому явище одночасної інтерференції безлічі вторинних (віртуальних) когерентних хвиль надалі називатимемо дифракцією. Отже дифракція відрізняється від інтерференції не так якісно, як кількісно.

Френель додав до принципу Гюйгенса не лише твердження про когерентність вторинних хвиль та можливість їх взаємодії поміж собою, дифракції. Френель запровадив у принцип Гюйгенса довжину хвилі , яку ототожнив з радіусом вторинних хвиль: . Таким чином побудова Гюйгенса отримала межі свого застосування: мінімальний інтервал часу , мінімальний радіус вторинних хвиль - .

Розглянемо екран (Е₁) в отвором (діафрагмою), крізь який проходить світло від далекого джерела (рис.3). Джерело вважатимемо поки що точковим та монохроматичним – таким яке випромінює світло однієї довжини хвилі, . Характерні розміри діафрагми більші від довжини хвилі . Хвильовий фронт ліворуч від екрану з отвором вважаємо плоским і необмеженим, суцільним.

Хвильовий фронт втрачає суцільність в момент проходження крізь екран Е₁: частина фронту відбивається від екрану, а частина хвильового фронту проходить крізь отвір. Хай в момент проходження частини фронту крізь діафрагму (отвір). Тоді кожні точку цієї частини фронту можна розглядати як джерело вторинних сферичних хвиль радіусу і згідно з принципом Гюйгенса-Френеля через час нове положення цієї частини хвильового фронту буде таким, як показано на рис.3.

Втративши суцільність після розриву на отворі, хвильовий фронт неминуче отримає заокруглені краї, причому в момент часу радіус цих закруглень дорівнюватиме довжині хвилі . Закруглення є результатом сферичності вторинних хвиль, які генеруються крайовими точками, котрі виникають під час розриву у частини раніше суцільного хвильового фронту.

Завдяки закругленим краям нового хвильового фронту деяка кількість променів по краях фронту відхиляється від прямолінійного шляху розповсюдження і проникає у область геометричної тіні на екрані Е₂(рис.3). Всі ці промені є когерентними і тому взаємодіють поміж собою. На вторинному екрані виникають області максимумів та мінімумів інтенсивності. На рис.3 показана така картина (дифракційна картина) для круглої діафрагми. Області мають вигляд світліших (максимуми) та темніших (мінімуми) кілець. Світлу пляму в центрі картини забезпечують ті промені, котрі не відхилилися від прямолінійного шляху розповсюдження і пов’язані з центральною, майже плоскою частиною хвильового фронту.

Дифракція таким чином виникає завжди, коли первинний хвильовий фронт втрачає свою суцільність, потерпає розриви. Це може відбуватися на діафрагмах довільної форми, на краях екранів, взагалі на будь-яких перешкодах, які розривають первинний хвильовий фронт. Дифракція, як і інтерференція супроводжується перерозподілом енергії (інтенсивності) світлової хвилі у просторі з виникненням зон максимумів та мінімумів інтенсивності. Нарешті, під час дифракції певна частина світлових променів відхиляється від початкового шляху розповсюдження і проникає в область геометричної тіні, де й утворюється дифракційна картина. Якби не дифракція границя поміж світлом та тінню завжди була б математично різкою.

Дифракція паралельного пучка первинних променів, отже плоского хвильового фронту, яку ми розглянули вище, прийнято називати дифракцією Фраунгофера. Дифракція очевидно можлива також і для хвильових фронтів, форма яких відмінна від площини, а пучки первинних променів не є паралельними. Такий тип дифракції називають дифракцією Френеля. Умовою спостереження дифракційної картини є наступне співвідношення поміж довжиною хвилі (), характерними розмірами перешкоди, на якій відбувається дифракція () та відстанню від останньої до екрану (), на якому виникає дифракційна картина:

(10)

Отже, при малій довжині хвилі , доводиться відсувати екран на значні відстані (), для того, щоби отримати дифракційну картину.

Спеціальними приладами для дифракції електромагнітних, і зокрема, оптичних хвиль, є так звані дифракційні гратки, які являють собою систему періодично розташованих прозорих та непрозорих ділянок (рис.4).

Сума ширин непрозорої () та прозорої () ділянки має назву періоду гратки:

(11)

Величину обернену до періоду гратки називають сталою гратки:

(12)

вона показує кількість штрихів (непрозорих ділянок) на одиницю ширини дифракційної гратки і звичайно дається у штрихах на міліметр.

При нормальному падінні монохроматичного світла (світла одної довжини хвилі) на дифракційну гратку на екрані за граткою спостерігається дифракційна картина, причому розташування максимумів та мінімумів є симетричним відносно центрального максимуму інтенсивності.

Кут, під яким спостерігається максимум інтенсивності, (), довжина хвилі світла (), порядковий номер максимуму (центральній максимум має номер , а решта максимумів, так звані побічні максимуми, нумеруються в залежності від розташування праворуч, чи ліворуч від центрального максимуму числами ) та період гратки пов’язані наступним рівнянням, яке можна досить просто вивести з умов існування інтерференційних максимумів та мінімумів, розглядаючи різницю ходу променів, що падають на гратку:

(13)

Рівняння (13) відоме як рівняння дифракційної гратки.

Якщо на дифракційну гратку падає не монохроматичне, а так зване біле світло, в якому є суміш певного набору довжин хвиль, то в правій частині (13) довжини хвиль для дифракційних максимумів інтенсивності одного порядку будуть дещо різними. Це означає, що і кути спостереження є за таких умов функціями довжини хвилі кожної компоненти білого світла. Отже, положення максимумів одного порядку для різних довжин хвилі на екрані буде не однаковим. Короткохвильові максимуми (фіолетовий, синій) будуть розташовані під меншими кутами, отже, ближче до центру екрану, ніж довгохвильові (жовтий, червоний). Дифракційна гратка розкладає біле світло у спектр його компонент завдяки дифракції.

Рівняння дифракційної гратки дозволяє визначати довжину хвилі світла, якщо відома стала гратки , просто вимірюючи кут , під яким на екрані спостерігається максимум -го порядку. Можна вирішувати і обернену задачу: встановлювати сталу гратки, знаючи довжину хвилі, порядок максимуму, та кут спостереження .

ü Поляризація світлових хвиль. Види поляризації

Для опису поляризації світла достатньо розглянути лише один з двох змінних векторів електромагнітного поля (). Найчастіше розглядають саме вектор напруженості вихрового електричного поля електромагнітної хвилі - , тому що він безпосередньо впливає на рух заряджених частинок в речовині. Світло є сумарним електромагнітним випромінюванням великої кількості атомів, що складають його джерело. Атоми джерела світла випромінюють електромагнітні хвилі спонтанно і незалежно один від одного. Тому результуюча хвиля є результатом складання окремих хвиль від багатьох незалежних осциляторів і звичайно є неполяризованою. У такому світлі (електромагнітній хвилі) рівноймовірними є всі напрями коливань в площині перпендикулярній до хвильового вектору , жоден напрям не є окремим, фіксованим.

Поперечна хвиля, в якій напрям коливань у площині перпендикулярній до вектора (або до вектору швидкості , який має той самий напрям) якось упорядкований, не випадковий, називається поляризованою хвилею. Якщо напрям коливань суворо фіксований, а вектор коливається лише в цьому напрямі (вдовж ), то ми маємо справу з плоско поляризованою хвилею (рис.5).

Плоско поляризована хвиля є частковим випадком більш загальної еліптичної поляризації електромагнітної хвилі. При еліптичній поляризації кінець вектора описує еліпс у площині перпендикулярній до напряму хвильового вектору (до напряму променю). Якщо поглянути на поперечну хвилю у напрямі променю (удовж векторів ) рис.6, то виродження еліпсу (а) у пряму (б) відповідає розглянутому вище випадку лінійно поляризованої хвилі, а виродження еліпсу в коло(в) – випадку так званої циркулярно поляризованої, або інакше, поляризованої по колу, хвилі.

Неважко збагнути, що сума двох циркулярно поляризованих хвиль з однаковими частотами та амплітудами дає лінійно поляризовану хвилю. Дві лінійно поляризовані хвилі з однаковою частотою та амплітудами, але із взаємно перпендикулярною поляризацією () складаються у циркулярно поляризовану хвилю, якщо мають стабільну в часі різницю фаз, яка дорівнює .

Неполяризоване світло від джерела, що складається з великої кількості атомів, випромінюючих не когерентно і незалежно один від одного, можна поляризувати, використовуючи так звані поляризатори. Це прилади, які пропускають лише коливання, спрямовані паралельно так званій головній оптичній осі поляризатора і затримують коливання, спрямовані перпендикулярно до цієї осі.

В якості поляризаторів використовуються середовища, анізотропні відносно коливань вектору , наприклад прозорі кристали.

ü Закони Малюса та Брюстера

Припустимо, що два поляризатори розташовані один за іншим, а кут поміж їх головними оптичними осями дорівнює (рис.7). Припустимо, що інтенсивність неполяризованого світла на вході системи (білий промінь) дорівнює . Тоді, згідно із законом Малюса:

інтенсивність поляризованого світла на виході системи (косоштрихований промінь) дорівнює:

(14)

Неважко бачити, що вихідна інтенсивність є максимальною при і нульовою при . Вираз для закону Малюса (14) не враховує відбиття та поглинання світла, яке завжди має місце під час його проходження крізь поляризатор та аналізатор. Ці процеси дещо зменшують інтенсивність вихідного променю.

Розглянемо далі падіння неполяризованого світла на поверхню прозорого (непоглинаючого) діелектрика з показником заломлення з іншого діелектрику() (рис.8). Ми вже згадували вище, що під час відбиття та заломлення світла на межі двох прозорих діелектриків відбувається часткова поляризація заломленого та відбитого променів.

Закон Брюстера (1815) стверджує:

Існує такий кут падіння первинного неполяризованого променю на межу розділу діелектриків, що відбитий та заломлений проміні повністю поляризуються.

При цьому вектор поляризації відбитого променю (вектор ) є перпендикулярним до площини падіння (площина рисунку), тоді як вектор поляризації заломленого променю (вектор ) лежить в площині падіння. Зрозуміло, що за такої умови . Так само зрозуміло, що тоді повинна спостерігатися також взаємна перпендикулярність відбитого та заломленого променю. Видно, що цю умову можна записати у вигляді умови Брюстера:

(15)

Закон заломлення накладає на кути падіння () та заломлення () додаткове обмеження:

(16)

З рівнянь (15) та (16) неважко отримати явний вираз для кута Брюстера:

(17)

Якщо середовище, на яке падає світло, є поглинаючим (значить, частково, або повністю непрозорим), то повної поляризації заломленого та відбитого променів досягнути не вдається навіть при падінні під кутом Брюстера. Такий кут падіння як у (17) лише забезпечує максимальний, проте не стовідсотковий, ступінь взаємно перпендикулярної поляризації цих променів. Таким чином, закон Брюстера за таких умов виконується лише із зазначеними обмеженнями.

ü Поглинання світла. Закон Бугера-Ламберта

Проходження світлової (якщо ширше, то електромагнітної) хвилі крізь речовину супроводжується взаємодією її вихрового електричного поля із зарядженими частинками. Вихрове електричне поле хвилі збуджує додаткові коливання заряджених частинок, на що витрачається певна енергія. Частково вона повертається у вигляді вторинного електромагнітного випромінювання зарядженими частинками, які рухаються прискорено під впливом первинної хвилі. Але певна частина енергії первинної хвилі перетворюється в інші форми енергії і поглинається речовиною: інтенсивність електромагнітної хвилі зменшується під час проходження крізь речовину.

Припустимо, що інтенсивність хвилі, яка падає на поверхню розділу вакуум-середовище (при ) дорівнює . Інтенсивність на відстані від поверхні розділу позначимо як . Тоді на відстані інтенсивність хвилі зменшується на величину , яка пропорційна добутку на товщину шару :

(18)

Вираз (18) є законом поглинання хвилі у диференційному вигляді. Коефіцієнт пропорційності має назву лінійного коефіцієнту поглинання і є функцією температури та довжини хвилі: . Інтегрування (18) призводить до виразу:

(19)

який є відомим як закон Бугера-Ламберта, або закон поглинання інтенсивності електромагнітних хвиль в інтегральному вигляді: