Тонкая линза

Призмы

Трёхгранные призмы

Простейшей призмой является трехгранная (треугольная). Она имеет поверхность основания и двугранный угол d, называемый преломляющим углом. Сечение такой призмы - треугольник (рис.). Обозначено:

- преломляющий угол j – угол при вершине призмы,

- угол отклонения луча y – угол между направлениями падающего на призму луча и луча, вышедшего из нее.

Если не сказано, что призма равнобедренная или равностороння, то следует начертить разносторонний треугольник. Затем построить изображение источника света следующим образом.

1. Направить падающий луч на боковую грань (ab) призмы.

2. В точке (m) падения луча провести нормаль (О₁О₂) к этой грани.

3. В соответствии с законом преломления провести луч (mn) в толще вещества призмы от точки падения (m) на первую грань к точке падения (n) луча на другую грань призмы.

4. Если показатель преломления вещества призмы больше, чем показатель преломления окружающей среды (n₂ > n₁), то угол преломления будет меньше угла падения (g₁ < a₁), и луч (mn) отклонится к основанию (ac) призмы (рис.).

5. Построить нормаль (О₃О₄) ко второй грани (bc).

6. Поскольку луч переходит из оптически более плотной среды в менее плотную (n₂ > n₁), то угол преломления на второй грани будет больше угла падения на вторую грань (g₂ > a₂), и луч снова отклонится к основанию призмы (рис.). Таким образом, изображение S₁ источника S кажется смещенным к вершине призмы.

4*. Если показатель преломления вещества призмы меньше, чем показатель преломления окружающей среды (n₂ < n₁), то угол преломления будет больше угла падения (g₁ > a₁), и луч отклонится к вершине призмы (рис.).

5*. Построить нормаль (О₃О₄) ко второй грани (bc).

6*. Поскольку луч переходит из оптически менее плотной среды в более плотную (n₂ < n₁), то угол преломления на второй грани будет меньше угла падения на вторую грань (g₂ < a₂), и луч снова отклонится к вершине призмы (рис.). Таким образом, изображение S₁ источника S кажется смещенным к основанию призмы

Соотношения между характерными углами призмы:

,

или

.

Полный угол отклонения j зависит от показателя преломления n и преломляющего угла d, который, в свою очередь, зависит от угла падения.

В случае, когда падающий и преломленные лучи располагаются симметрично (рис.), угол j имеет минимальное значение, удовлетворяющее условию:

.

Для отклонения лучей на малые углы j используют призму с малым углом d, которая называется оптическим клином (рис. в). В этом случае (1) упрощается:

Систему из призм можно использовать в качестве призматического растра (рис.). Растр - это сложный экран, или сложный рассеиватель, состоящий из одинаково ориентированных неоднородностей определенной формы.

По своему назначению призмы бывают:

- поляризационные,

- отражательные,

- разделительные,

- спектральные.

Поляризационные призма

К поляризационным призмам относятся:

۰ призма Николя, изготавливаемая путем разрезания наискось одноосного двоякопреломляющего кристалла и последующего сливания частей; в ней обыкновенный луч испытывает полное внутреннее отражение, а используется вышедший необыкновенный поляризованный луч (см. плакат);

۰ призма Рошона, которая склеена из двух треугольных призм со взаимно перпендикулярным расположением оптических осей (рис.); в первой призме скорости обыкновенного и необыкновенного лучей равны, а во второй скорость обыкновенного не меняется и этот луч не отклоняется, а скорость необыкновенного луча очень велика, угол его преломления становится больше, чем угол падения и этот луч резко отклоняется.

Поляризационные призмы, наравне с другими поляризаторами (поляроидами, стопами Столетова) применяются в модуляторах. Модулятор – это устройство для управления интенсивностью светового луча.

Существуют:

- электороптические модуляторы,

- магнитоптические модуляторы,

- акустооптические модуляторы.

Электрооптические модуляторы наиболее распространены. В них между двумя скрещенными поляризаторами находится кристалл, помещенный в элеткрическое поле (рис.). В зависимости от разности потенциалов меняется разность фаз обыкновенного и необыкновенного лучей, выходящих из кристалла и, следовательно, интенсивность проходящего света регулируется электрическим полем.

Отражательные призмы

Отражательными призмами являются:

۰ поворотная 90-градусные (рис. а), действие основано на явлении полного внутреннего отражения света внутри призмы,

۰ поворотная 180-градусная (рис. б), принцип действия аналогичный,

۰ оборотная, или призма Дове (рис. в), принцип действия аналогичный, используется проекторах,

۰ смещающий ромб (рис. г),

۰ пентапризма (рис. д), поскольку лучи падают на грани под углом, меньше предельного, то для полного отражения эти грани посеребрены.

Разделительные призмы

Примером разделительной призмы служит делительный куб (рис.). Он состоит из двух сложенных призм так, что часть света отражается от границы раздела, и в результате падающий луч разделяется на два вышедших.

Спектральные призма

Среди спектральных (диспресионных) различают:

۰ обычные трехгранные призмы, которые отклоняют (поворачивают) лучи,

۰ призма прямого зрения, или призма Амичи (рис.), которая состоит из трех призм, центральная из которых стеклянная и имеет показатель преломления немного больше, чем у двух других одинаковых; применятся, если надо, чтобы лучи выходили практически в том же направлении (желтые не отклоняются, а красные и фиолетовые - разводятся)

۰ призма постоянного отклонения, или призма Аббе (рис. а), которая состоит из трех: первая и третья имеют сечение в виде прямоугольного треугольника и преломляющий угол 30⁰, вторая – сечение в виде равнобедренного прямоугольного треугольника; если монохроматический свет направить так, чтобы на заднюю грань второй призмы луч падал под углом 45⁰, то он выйдет под углом 90⁰ к первоначальному направлению, аналогично для другого цвета, в результате каждый цвет по очереди будет поворачиваться на 90⁰ ; призма Аббе (рис. б)используется в монохроматорах.

Тонкая линза

Линза представляет собой оптический прибор из прозрачного тела (стекла, кварца, пластмассы или другого прозрачного вещества) с показателем преломления n_л, ограниченного двумя криволинейными поверхностями или криволинейной и плоской поверхностями.

		O1
			O2

В большинстве случаев криволинейные поверхности являются сферическими с радиусам кривизны R₁ и R₂ (рис.). Если толщина линзы d меньше каждого из радиусов кривизны, то линза – тонкая (в противном случае – линза толстая).

Прямая, проходящая через центры кривизны (C₁ и C₂) поверхностей называется главной оптической осью линзы.

В тонкой линзе точки пересечения главной оптической оси с обеими поверхностями линзы (O₁ и O₂) сходятся в одну точку O, называемую оптическим центром линзы.

Тонкая линза имеет одну главную плоскость, которая является общей для обеих поверхностей линзы и проходит через оптический центр перпендикулярно главной оптической оси.

Все прямые, проходящие через оптический центр и не совпадающие с главной оптической осью, называются побочными оптическими осями.

Лучи, идущие вдоль главной и побочной оптических осей не испытывают преломления.

В зависимости от величины и знака радиуса кривизны линзы бывают (рис.):

1) двояковыпуклая линза

R₁ = O₁C₁ >0

(по направл. Луча)

R₂ = O₂C₂ < 0

(против луча)

|R₂ | = R₁

2) плоско-выпуклая линза

R₁ = µ

R₂ < 0

3) вогнуто-выпуклая линза

R₁ <0

R₂ < 0

4) двояковогнутая линза

R₁ < 0

R₂ > 0

| R₂ | = | R₁ |

5) плоско-вогнутая линза

R₁ = µ

R₂ > 0

6) выпукло-вогнутая линза

R₁ >0

R₂ > 0

Линзы бывают собирающими и рассеивающими: собирающие линзы в середине толще, чем по краям (случаи 1, 2, 3), а рассеивающие - наоборот, в середине тоньше, если когда показатель преломления материала линзы больше, чем окружающей среды (случаи 4, 5, 6). Собирающие и рассеивающие линзы принято изображать двойными стрелками (рис.).

Собирающая линза – это линза, преобразующая параллельный пучок световых лучей в с ходящийся.

Рассеивающая линза – линза, преобразующая параллельный пучок световых лучей в рас ходящийся.

Найдём соотношение, связывающее радиусы кривизны линзы (R₁ и R₂) с расстоянием (a) между оптическим центром (O) и точечным источником (S) или предметом (AB) и расстоянием (b) между оптическим центром (O) и изображением источника(S') (или изображением A'B’).

Пусть источник S находится на главной оптической оси, тогда S' находится на этой же оси (рис.).

Cчитаем, что

, ,

где a – расстояние от оптического центра O до источника S, b – расстояние от оптического центра O до изображения S'.

Световой луч проходит траекторию SOS' время

,

Или (разделив на n_вак):

, (1)

где n_вак = 1.

Выберем другой луч от источника S, который проходит по траектории SDS'. Время прохождения этой траектории равно

,

или (разделив на n _вак):

. (2)

По принципу Ферма времена прохождения по этим траектория одинаковые

.

Следовательно, приравняем правые части (1) и (2), сократив общий знаменатель:

. (3)

Пусть лучи параксиальные (приосевые), тогда они образуют малые углы с оптической осью, и линза дает стигматическое изображение (если лучи выходят из одной точки (S), то и собираются также в одну точку (S')).

В этом случае можно применить следующие приближения:

, .

Тогда первое слагаемое в правой части (3) равно

,

или

.

Аналогично, для второго слагаемого в правой части (3) получим

.

Тогда (3) примет вид:

,

Или (взаимно уничтожая a и b, а также перенеся x₁ и x₂ влево)

.

Для тонкой линзы расстояниями x₁ и x₂ можно пренебречь по сравнению с расстояниями a и b

, .

Поэтому правую часть можно упростить

. (4)

Выразим x₁ и x₂, находящиеся в левой части равенства (4), из прямоугольных треугольников S'OD и SOD соответственно, учитывая, что h мало по сравнению с радиусами кривизны линзы

h << R₁, h << R₂,

,

или

;

аналогично, для x₂ получим

.

Тогда (4) примет вид:

,

или

. (5)

Полученное выражение называется формулой тонкой линзы, где R_i < 0 для вогнутой поверхности (со стороны источника света), R_i > 0 для выпуклой поверхности.

Анализ формулы (5):

A) Если источник S удален и лучи падают параллельным пучком, то

a ® µ, 1/a ® 0, Þ

,

а лучи (или их продолжения) сбираются в точке в одной точке F (рис.).

Фокус – это точка, в которой после преломления линзой собираются все лучи, падающие на линзу параллельно ее главной оптической оси, или их продолжения.

Расстояние f от оптического центра линзы до фокуса называется фокусным расстоянием линзы и равно

. (6)

У двояковыпуклой (собирающей) линзы f > 0, фокус F - действительный, а двояковогнутая (рассеивающая) линза имеет f < 0, фокус F - мнимый.

Б) Если, наоборот, лучи выходят из линзы параллельным пучком и изображение S' находится в бесконечности, то

b ® µ, 1/b ® 0, Þ ,

Тогда фокусное расстояние линзы и равно

. (7)

Сравнивая (6) и (7) видно, что фокусные расстояния одинаковые, т. е. фокусы находятся на одном и том же расстоянии по обе стороны линзы

В) Если на линзу падает пучок параллельных лучей под произвольным углом a к главной оптической оси mn (или p /2 - a к главной плоскости), то в случае собирающей линзы лучи собираются в одной из точек F*, которые называется побочными фокусами и расположены в одной плоскости с фокусом F, перпендикулярной оптической оси (рис. а); а в случае рассеивающей линзы в одном из мнимых побочных фокусов F* собираются мнимые продолжения рассеянных лучей (рис. б). Фокус F и побочные фокусы F* образуют главнуюфокальнуюплоскость - геометрическое место точек, в которых пересекаются параллельные лучи (или их продолжения), падающие на линзу под любым углом к главной оптической оси.

Расстояния от линзы до предмета и изображения связаны с радиусами кривизны формулой, для пользования которой существует правило знаков:

- перед 1/a ставится знак "+", если предмет или источник света - действительный (падающие на линзу лучи – расходящиеся), а знак "-" - если предмет или источник мнимый (падающие лучи – сходящиеся); при этом не важно, какая сама линза – собирающая ли рассеивающая;

- перед 1/b ставится знак "+", если изображение предмета или источника - действительное (расположено по другую сторону линзы), а знак "-" - если изображение предмета или источника мнимое (расположено на той же стороне от линзы, что и сам предмет или источник);

- перед 1/f ставится знак "+", если линза собирающая, а знак "-" - если линза рассеивающая.

Величина, обратная фокусному расстоянию - это оптическая сила линзы:

.

В системе единиц СИ фокусное расстояние измеряется в метрах [f] = 1 м, а величина D измеряется в диоптриях [D] = 1 дптр, 1 дптр = 1 м^-1.

Следовательно, формула тонкой линзы примет вид:

, (5**)

где "+ D " для собирающей линзы, а "- D " для рассеивающей линзы.

Изображение предмета может быть увеличенным или уменьшенным. Увеличением линзы Y называется отношение расстояния между линзой и изображением (b) к расстоянию между линзой и предметом (a), т. е.

.

При построении лучей можно заметить, что величина Y (как и в случае сферического зеркала) равна отношению линейного размера h' изображения к линейному размеру h предмета:

.

Для построения изображений в тонких линзах следует применять любые два из трех характерных лучей:

- луч 1, параллельный оптической оси С₁OC ₂, который сам (или его продолжение) после преломления в линзе проходит через действительный (или мнимый) фокус F;

- луч 2 (или его продолжение), проходящий через действительный (или мнимый) фокус F, а после преломления в линзе - параллельно главное оптической оси С₁OC ₂;

- луч 3, проходящий через оптический центр O линзы безпреломления, т.е. не меняющий своего направления.

Примеры [1]

1. На собирающую линзу с фокусом F падает луч под произвольным углом. Построить ход луча после преломления линзой.

Решение (рис. а):

- провести главную фокальную плоскость по другую сторону линзы;

- провести побочную оптическую ось (проходящую через оптический центр) параллельно падающему лучу;

- найти точку K их пересечения;

- провести искомый луч после линзы через эту точку.

2. На рассеивающую линзу с фокусом F падает луч под произвольным углом. Построить ход луча после преломления линзой.

Решение (самостоятельно, рис. б):

- провести главную фокальную плоскость с той же стороны линзы, что и луч;

- провести побочную оптическую ось (через оптический центр) параллельно падающему лучу;

- найти току K их пересечения;

- провести мнимое изображение падающего луча от линзы к точке K;

- построить искомый луч как противоположное продолжение мнимого изображения по другую сторону линзы.

3. Собирающая линза с фокусом F освещена точечным источником света S, который расположен на главной оптической оси линзы. Построить изображение S₁ источника света.

Решение (рис., а):

- провести первый луч от источника вдоль главной оптической оси;

- провести второй луч в виде падающего на линзу под произвольным углом;

- провести побочную оптическую ось параллельно второму лучу;

- провести фокальную плоскость по другую сторону линзы;

- найти току K пересечения побочной оптической оси и фокальной плоскости;

- провести преломленный второй луч через эту точку;

- построить изображение источника в виде точки пересечения этого луча и первого; изображение расположено по другую сторону линзы, поэтому – действительное.

4. Собирающая линза с фокусом F освещена точечным источником света S, который расположен на главной оптической оси линзы. Построить изображение S₁ источника света.

Решение (самостоятельно, рис. б):

- провести первый луч от источника вдоль главной оптической оси;

- провести второй луч в виде падающего на линзу под произвольным углом;

- провести побочную оптическую ось параллельно второму лучу;

- провести фокальную плоскость на той же стороне от линзы, что и источник;

- найти току K пересечения побочной оптической оси и фокальной плоскости;

- провести мнимое изображение преломленного второго луч через эту точку;

- продолжить мнимое изображение в противоположную сторону в виде луча; при этом пересечение мнимого изображения, первого луча от источника и главной оптической оси и есть изображение источника – оно расположено на той же стороне, что и источник, поэтому является мнимым.

5. Предмет AB расположен перпендикулярно собирающей линзе, при этом его начало (точка A) лежит на главной оптической оси. (Аналогия этому условию: источник света S - вместо точки B - не принадлежит главной оптической оси). Построить изображение A₁B₁ (или изображение S₁ источника).

Решение (рис. а):

- не требуется проводить вспомогательных лучей и строить фокальную плоскость;

- достаточно провести два луча, один из них – побочная оптическая ось, а второй проводится из конца предмета - точки B (или из точки S) параллельно главной оптической оси и после преломления в линзе проходит через фокус F;

- пересечение этих - изображение B₁ (или S₁);

- опустить перпендикуляр из точки B₁ на главную оптическую ось – их пересечение есть изображение A₁.

[1] Для самостоятельного изучения