Основные нелинейные эффекты

Для описания нелинейных эффектов удобно разделять поляризованность среды на линейную и нелинейную части:

Наличие поляризованности среды означает, вообще, возникновение в ней поляризационных зарядов и токов, обусловленных связанными в атомах электронами. Эти заряды и токи, как источники полей, необходимо учитывать в полных уравнениях Максвелла при нахождении электромагнитного поля. Когда вещество поляризовано неоднородно, т.е. вектор меняется от точки к точке, то физически бесконечно малый элемент объема приобретает не только дипольный момент, но и отличный от нуля полный заряд. Макроскопически этот поляризационный заряд характеризуется объемной плотностью r, которая выражается через скорость изменения вектора в пространстве следующим соотношением: . Изменение поляризованности с течением времени означает, что создающие ее заряды движутся, т.е. возникает поляризационный ток, вектор плотности которого равен скорости изменения вектора , . Влияние зарядов и токов, обусловленных линейной частью , удобно учесть, вводя вектор электрической индукции , который, как уже отмечалось, связан с напряженностью электрического поля уравнением , . Диэлектрическая проницаемость здесь выражается только через линейную восприимчивость, т.е. имеет тот же смысл, что и в линейной оптике. Если бы имелась только линейная часть , то для векторов и в среде получалась бы система однородных уравнений, аналогичная уравнениям поля в вакууме. Учет приводит к системе нелинейных уравнений для векторов световой волны, что означает нарушение принципа суперпозиции. Уравнения Максвелла примут вид:

, , , .

Эту систему, как и уравнение для ангармонического осциллятора, можно решать методом последовательных приближений. В нулевом приближении правые части отбрасываются и уравнения -превращаются в обычные однородные уравнения линейной оптики. Возможное их решение - плоская монохроматическая волна . Для нахождения следующего приближения в правые части уравнений подставим нелинейную поляризованность , где заменено выражением из нулевого приближения, и отброшены кубичные и высшие члены. Получим опять линейные, но уже неоднородные уравнения с известными правыми частями. Эти правые части могут быть истолкованы как добавочные источники волн, обусловленные нелинейной частью поляризованности среды. Каждый элемент объема dV среды переизлучает волны как осциллирующий диполь Герца с добавочным дипольным моментом . Эти излучения, накладываясь на плоскую волну нулевого приближения, создают волновое поле в первом приближении. Второе приближение находится аналогично. Для этого выражение для нелинейной поляризованности обрываем на членах третьей степени , заменяя в оборванном выражении на , после чего вычисляем поле во втором приближении и т.д. Если в нулевом приближении есть только одна монохроматическая волна частоты w, то с учетом нелинейных членов поляризованности среды в правой части уравнения,, появятся слагаемые не только с исходной частотой w, но и с частотами 2 w, 3 w, … Уравнения Максвелла следует написать для каждой частоты в отдельности и искать решение этих уравнений в виде распространяющихся волн с такими же частотами, при этом в случае диспергирующей среды следует брать значения диэлектрической проницаемости при той же частоте.