Необходимые условия дифференцируемости функции

Частные производные, геометрический смысл частных производных функции двух переменных.

Частной производной по х от ф-и z=f(х,у) называется предел отношения частного приращения z по х к

приращению х при х 0.

Геометрический смысл: частная производная dz/dx от М0 равна тангенсу угла а между осью Oх и

касательной в точке N0 к кривой, полученной в сечении поверхности z=f(х,у) плоскостью

y=y0. Аналогично получаем, что dz/dу от М0= tg b.

Понятие дифференцируемой функции, необходимое условие дифференцируемости и достаточное условие дифференцируемости функции, полный дифференциал.

Определение. Функция z=f(x, y) называется дифференцируемой в точке (x, y) I D, если

полное приращение D x=f(x+ D x, y+ D y)-f(x,y) этой функции, отвечающее приращениям D x,

D y аргументов, можно представить в виде D z=A D x+B D y+ a ( D x, D y) D x+ b ( D x, D y) D y

Необходимые условия дифференцируемости функции.

Теорема. Если функция z=f(x, y) дифференцируема в некоторой точке, то она в этой точке

непрерывна.

Если в точке (x, y) функция z=f(x, y) дифференцируема, то полное приращение функции z

в этой точке, отвечающее приращениям D x и D y аргументов, можно представить в виде

D z=A D x+B D y+ a ( D x, D y) D x+ b ( D x, D y) D y

Теорема. Если функция z=f(x, y) дифференцируема в данной точке, то она имеет в этой

точке частные производные dz/dx и dz/dy