Общая матрица жесткости конструкции

4.8. Общая матрица жесткости выражается через матрицы жесткости отдельных элементов и устанавливает связь между узловыми перемещениями конструкции в целом и внешней нагрузкой.

Нагрузка на конструкцию прикладывается в узловых точках

Каждая из сил имеет столько же компонент, сколько и рассматриваемые реакции элемента. При шарнирном соединении узлов конструкции

Для удовлетворения условиям равновесия в произвольной узловой точке i каждая из компонент должна быть приравнена сумме компонент сил от всех элементов, соединяющихся в этом узле.

При количестве узлов конструкции, равном k

(4.5)

В правой части уравнения (4.5) отличные от нуля силы будут давать только элементы, содержащие точку i.

Согласно соотношению (4.2) вектор обобщенных усилий в узле i для элемента с номерами узлов i j равен

(4.6)

С учетом (4.6) соотношение (4.5) запишется в форме

(4.7)

И здесь вклад в сумму дают только элементы, соединяющиеся в узле i.

Объединяя эти уравнения, получаем матричное уравнение равновесия метода перемещений в общей системе координат

(4.8)

где R - общая матрица жесткости для всей конструкции:

(4.9)

Элементы этой матрицы представляют собой квадратные подматрицы и, за исключением диагональных, определяются зависимостью (4.3). Диагональные элементы при учете соотношения (4.4) определяются зависимостью

(4.10)

4.9. Решение системы уравнений равновесия (4.8) возможно лишь при наложении па конструкцию необходимого числа связей, исключающих ее перемещение в пространстве. В этом случае решение может быть получено путем вычеркивания соответствующих строк и столбцов матрицы.

По найденным из решения системы уравнений равновесия (4.8) перемещениям определяются усилия в элементах по формуле

(4.11)